Mostrar que a função y=(1-2 x) e^{2 x} é uma solução para o P.V.I
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
no intervalo ]-\infty,+\infty[.

Passo 1

O enunciado dá:
y=(1-2x)e^{2x}
e pede para mostrar que essa função satisfaz o problema de valor inicial (P.V.I.)
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\frac{dy}{dx}+4y=0,\quad y(0)=1,\; y'(0)=0
no intervalo ]-\infty,+\infty[. Informações relevantes: a equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes; as condições iniciais são os valores de y e y' em x=0. A tarefa é verificar que a função proposta satisfaz a equação diferencial para todo x\in\mathbb{R} e que também satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada y'. Para isso usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)'=u'v+uv'. Aqui tome u(x)=1-2x e v(x)=e^{2x}. Então u'(x)=-2 e, lembrando que a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}, temos v'(x)=2e^{2x}. Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + uv' = (-2)e^{2x} + (1-2x)\cdot 2e^{2x}.
Colocando em evidência e^{2x}:
y' = e^{2x}\bigl(-2 + 2(1-2x)\bigr).
Desenvolvendo o parêntese:
-2 + 2(1-2x) = -2 + 2 -4x = -4x,
logo
y' = -4x\,e^{2x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y''. Novamente usamos a regra do produto sobre y'=-4x\cdot e^{2x}. Tome p(x)=-4x e q(x)=e^{2x}. Então p'(x)=-4 e q'(x)=2e^{2x}. Assim
y'' = p' q + p q' = (-4)e^{2x} + (-4x)\cdot 2e^{2x}.
Fatorando e^{2x}:
y'' = e^{2x}\bigl(-4 - 8x\bigr).

Passo 4

Vamos substituir y'', y', y na expressão \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y e verificar que dá zero:
y''-4y'+4y = e^{2x}(-4-8x) -4\bigl(-4x\,e^{2x}\bigr) +4\bigl((1-2x)e^{2x}\bigr).
Colocando e^{2x} em evidência:
y''-4y'+4y = e^{2x}\bigl[(-4-8x) + 16x + (4-8x)\bigr].
Agora somamos os termos dentro dos colchetes: os termos constantes -4 e +4 se cancelam; os termos em x são -8x +16x -8x =0. Portanto o colchete é zero e
y''-4y'+4y = e^{2x}\cdot 0 = 0.
Como isso vale para todo x real, a função satisfaz a equação diferencial em ]-\infty,+\infty[. Observação didática: e^{2x} nunca é zero, então o fato de o produto ser zero implica que o fator entre colchetes é zero para todo x.

Passo 5

Verificamos as condições iniciais. Calculamos y(0) e y'(0):
y(0) = (1-2\cdot 0)e^{2\cdot 0} = 1\cdot 1 = 1,
y'(0) = -4\cdot 0\cdot e^{0} = 0.
Assim as condições y(0)=1 e y'(0)=0 são satisfeitas.

Passo 6

Conclusão: a função proposta satisfaz a equação diferencial para todo x\in\mathbb{R} e também satisfaz as condições iniciais em x=0. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem com coeficientes contínuos (aqui coeficientes constantes), essa solução é a solução única do P.V.I. no intervalo ]-\infty,+\infty[.

Resposta

y=(1-2x)e^{2x} é solução do P.V.I. \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0,\; y(0)=1,\; y'(0)=0 no intervalo ]-\infty,+\infty[.

Exercícios relacionados