Mostrar que a função
é uma solução para o P.V.I
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá:
e pede para mostrar que essa função satisfaz o problema de valor inicial (P.V.I.)
no intervalo
. Informações relevantes: a equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes; as condições iniciais são os valores de
e
em
. A tarefa é verificar que a função proposta satisfaz a equação diferencial para todo
e que também satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Para isso usamos a regra do produto: se
e
são funções,
. Aqui tome
e
. Então
e, lembrando que a derivada de
é
, temos
. Aplicando a regra do produto:
Colocando em evidência
:
Desenvolvendo o parêntese:
logo
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Novamente usamos a regra do produto sobre
. Tome
e
. Então
e
. Assim
Fatorando
:
Passo 4
Vamos substituir
na expressão
e verificar que dá zero:
Colocando
em evidência:
Agora somamos os termos dentro dos colchetes: os termos constantes
e
se cancelam; os termos em
são
. Portanto o colchete é zero e
Como isso vale para todo
real, a função satisfaz a equação diferencial em
. Observação didática:
nunca é zero, então o fato de o produto ser zero implica que o fator entre colchetes é zero para todo
.
Passo 5
Verificamos as condições iniciais. Calculamos
e
:
Assim as condições
e
são satisfeitas.
Passo 6
Conclusão: a função proposta satisfaz a equação diferencial para todo
e também satisfaz as condições iniciais em
. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem com coeficientes contínuos (aqui coeficientes constantes), essa solução é a solução única do P.V.I. no intervalo
.