Mostrar que a função
é uma solução para o P.V.I
no intervalo
.
Justifique por que esta solução é única.
Justifique por que esta solução é única.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a função
é (ou não é) solução do problema de valor inicial (P.V.I.)
no intervalo
; (ii) justificar por que a solução do P.V.I. é única.
Informações dadas: a função proposta é ; a equação diferencial é
; a condição inicial é
. Vou verificar explicitamente a equação substituindo a função proposta, checar a condição inicial e, em seguida, explicar (e provar) a unicidade.
Informações dadas: a função proposta é
Passo 2
Vamos calcular a derivada
da função proposta, com explicação didática da regra usada. A função é soma de duas parcelas:
e
. A derivada de
é
. Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
, então
. Portanto
Somando as parcelas,
Esse cálculo pode ser feito à mão sem calculadora: primeiro termo óbvio
; segundo usa apenas cadeia e multiplicação.
Passo 3
Agora formamos o lado esquerdo da equação diferencial
substituindo
e
que já temos. Substituindo:
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Observe que os termos com
se cancelam:
. Logo sobra
Passo 4
Comparando o resultado obtido com o lado direito da equação diferencial dada, que é
, vemos que
para
. Portanto a função proposta
NÃO satisfaz a equação diferencial
tal como escrita. A condição inicial, porém, é satisfeita:
. Conclusão: a função proposta satisfaz a condição inicial, mas não satisfaz a equação diferencial dada, logo NÃO é solução do P.V.I. apresentado.
Passo 5
Como observação útil (para não ficar no vazio): se o lado direito da equação fosse
em vez de
, então a igualdade faria sentido e a função
seria solução. Mas seguindo estritamente o enunciado recebido, ela não é solução.
Passo 6
Agora justifico a unicidade do P.V.I. (mesmo que, no caso, a função proposta não seja solução). Considere a equação linear de primeira ordem geral
Teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem afirma: se
e
são contínuas num intervalo que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução que satisfaz a condição inicial
nesse mesmo intervalo. A razão é a seguinte (explicação didática e simples): use o fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtemos
que se integra diretamente. Isso dá uma solução explícita com uma constante
que é fixada pela condição inicial — portanto existe exatamente uma constante que atende
, dando unicidade. Outra forma de provar unicidade é assumir que
e
são duas soluções com mesma condição inicial; então
satisfaz a equação homogênea
com
. A solução da homogênea é
; a condição
força
, logo
e
.
Passo 7
Aplicando ao nosso caso específico: aqui
e
. Ambas as funções são polinômios (portanto contínuas) em todo
. Assim, pelo teorema acima, o P.V.I.
possui exatamente uma solução definida em todo
. Podemos até encontrar explicitamente essa solução usando fator integrante para ver qual é ela: o fator integrante é
. Multiplicando e integrando obtemos
Fazendo a substituição
(então
) temos
Logo
Impondo
dá
. Portanto a solução única do P.V.I. é
Note que esta solução única é diferente da função proposta
, confirmando o que encontramos antes.
Resposta
A função
não é solução do P.V.I., pois
.
A solução única do P.V.I. é
.
A solução única do P.V.I.