Mostrar que a função y=x^{2}+e^{-x^{2}} é uma solução para o P.V.I
\frac{d y}{d x}+2 x y=2 x^{3}, \quad y(0)=1
no intervalo ]-\infty,+\infty[.
Justifique por que esta solução é única.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a função y(x)=x^{2}+e^{-x^{2}} é (ou não é) solução do problema de valor inicial (P.V.I.)
\frac{d y}{d x}+2 x y=2 x^{3},\qquad y(0)=1,
no intervalo ]-\infty,+\infty[; (ii) justificar por que a solução do P.V.I. é única.
Informações dadas: a função proposta é y(x)=x^{2}+e^{-x^{2}}; a equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}+2xy=2x^{3}; a condição inicial é y(0)=1. Vou verificar explicitamente a equação substituindo a função proposta, checar a condição inicial e, em seguida, explicar (e provar) a unicidade.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função proposta, com explicação didática da regra usada. A função é soma de duas parcelas: x^{2} e e^{-x^{2}}. A derivada de x^{2} é 2x. Para e^{-x^{2}} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-x^{2}, então u'(x)=-2x. Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}}\big)=(-2x)e^{-x^{2}}=-2x e^{-x^{2}}.
Somando as parcelas,
\frac{dy}{dx}=2x-2x e^{-x^{2}}.
Esse cálculo pode ser feito à mão sem calculadora: primeiro termo óbvio 2x; segundo usa apenas cadeia e multiplicação.

Passo 3

Agora formamos o lado esquerdo da equação diferencial \dfrac{dy}{dx}+2xy substituindo y e \dfrac{dy}{dx} que já temos. Substituindo:
\frac{dy}{dx}+2xy=\big(2x-2x e^{-x^{2}}\big)+2x\big(x^{2}+e^{-x^{2}}\big).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
\frac{dy}{dx}+2xy=2x-2x e^{-x^{2}}+2x^{3}+2x e^{-x^{2}}.
Observe que os termos com e^{-x^{2}} se cancelam: -2x e^{-x^{2}}+2x e^{-x^{2}}=0. Logo sobra
\frac{dy}{dx}+2xy=2x+2x^{3}.

Passo 4

Comparando o resultado obtido com o lado direito da equação diferencial dada, que é 2x^{3}, vemos que
\frac{dy}{dx}+2xy=2x^{3}+2x\neq 2x^{3}
para x\neq 0. Portanto a função proposta y(x)=x^{2}+e^{-x^{2}} NÃO satisfaz a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}+2xy=2x^{3} tal como escrita. A condição inicial, porém, é satisfeita: y(0)=0^{2}+e^{0}=1. Conclusão: a função proposta satisfaz a condição inicial, mas não satisfaz a equação diferencial dada, logo NÃO é solução do P.V.I. apresentado.

Passo 5

Como observação útil (para não ficar no vazio): se o lado direito da equação fosse 2x+2x^{3} em vez de 2x^{3}, então a igualdade faria sentido e a função y(x)=x^{2}+e^{-x^{2}} seria solução. Mas seguindo estritamente o enunciado recebido, ela não é solução.

Passo 6

Agora justifico a unicidade do P.V.I. (mesmo que, no caso, a função proposta não seja solução). Considere a equação linear de primeira ordem geral
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x).
Teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem afirma: se p e q são contínuas num intervalo que contém o ponto inicial x_{0}, então existe uma única solução que satisfaz a condição inicial y(x_{0})=y_{0} nesse mesmo intervalo. A razão é a seguinte (explicação didática e simples): use o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x),
que se integra diretamente. Isso dá uma solução explícita com uma constante C que é fixada pela condição inicial — portanto existe exatamente uma constante que atende y(x_{0})=y_{0}, dando unicidade. Outra forma de provar unicidade é assumir que y_{1} e y_{2} são duas soluções com mesma condição inicial; então z=y_{1}-y_{2} satisfaz a equação homogênea z'+p(x)z=0 com z(x_{0})=0. A solução da homogênea é z=C e^{-\int p(x)\,dx}; a condição z(x_{0})=0 força C=0, logo z\equiv 0 e y_{1}=y_{2}.

Passo 7

Aplicando ao nosso caso específico: aqui p(x)=2x e q(x)=2x^{3}. Ambas as funções são polinômios (portanto contínuas) em todo ]-\infty,+\infty[. Assim, pelo teorema acima, o P.V.I.
\frac{dy}{dx}+2xy=2x^{3},\qquad y(0)=1
possui exatamente uma solução definida em todo \mathbb{R}. Podemos até encontrar explicitamente essa solução usando fator integrante para ver qual é ela: o fator integrante é \mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^{2}}. Multiplicando e integrando obtemos
\frac{d}{dx}\big(y e^{x^{2}}\big)=2x^{3}e^{x^{2}}.
Fazendo a substituição u=x^{2} (então du=2x\,dx) temos
\int 2x^{3}e^{x^{2}}dx=\int u e^{u}du=(u-1)e^{u}+C=(x^{2}-1)e^{x^{2}}+C.
Logo
y e^{x^{2}}=(x^{2}-1)e^{x^{2}}+C\quad\Rightarrow\quad y=x^{2}-1+Ce^{-x^{2}}.
Impondo y(0)=1 -1+C=1\Rightarrow C=2. Portanto a solução única do P.V.I. é
y(x)=x^{2}-1+2e^{-x^{2}}.
Note que esta solução única é diferente da função proposta x^{2}+e^{-x^{2}}, confirmando o que encontramos antes.

Resposta

A função y(x)=x^{2}+e^{-x^{2}} não é solução do P.V.I., pois \dfrac{dy}{dx}+2xy=2x^{3}+2x\neq2x^{3}.
A solução única do P.V.I. \dfrac{dy}{dx}+2xy=2x^{3},\;y(0)=1 é y(x)=x^{2}-1+2e^{-x^{2}}.

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