Mostrar que (\{1,-1, i,-i\},. ) , onde i^{2}=-1, é um GRUPO.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
G = \{\,1,\,-1,\,i,\,-i\}
com a operação de multiplicação de números complexos (onde i^2=-1). Para mostrar que (G,\cdot) é um grupo, precisamos verificar os quatro axiomas de grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento neutro
  4. Existência de inversos

Passo 2

Verificar o fechamento:
Precisamos mostrar que, para quaisquer a,b\in G, o produto a\cdot b também pertence a G. Note que G é exatamente o conjunto das raízes quárticas da unidade em \mathbb{C}. De fato, se fizermos a tabela de multiplicação, todos os produtos são
1,\,-1,\,i\text{ ou }-i,
isto é, sempre elementos de G. Por exemplo:
i\cdot i = i^2 = -1,\quad i\cdot(-i) = -i^2 = 1,\quad (-1)\cdot i = -i,
e assim por diante. Logo, G é fechado sob \cdot.

Passo 3

Verificar a associatividade:
A multiplicação de números complexos é associaltiva em todo \mathbb{C}. Assim, para quaisquer a,b,c\in G\subset\mathbb{C}, vale
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).
Portanto, a associatividade é herdada da operação em \mathbb{C}.

Passo 4

Existência de elemento neutro:
O número 1 satisfaz
1\cdot a = a\cdot 1 = a
para todo a\in G. Como 1\in G, esse é o elemento neutro de G.

Passo 5

Existência de inversos:
Para cada elemento a\in G devemos encontrar a^{-1}\in G tal que a\cdot a^{-1}=1. Observe:
1^{-1}=1,\quad (-1)^{-1}=-1,\quad i^{-1}=-i,\quad (-i)^{-1}=i.
Todos esses inversos pertencem a G.

Resposta

Portanto, (\{1,-1,i,-i\},\cdot) satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inversos, logo é um grupo.

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