Mostrar que
.
, é um GRUPO.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a operação de multiplicação de números complexos (onde
). Para mostrar que
é um grupo, precisamos verificar os quatro axiomas de grupo:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento neutro
- Existência de inversos
Passo 2
Verificar o fechamento:
Precisamos mostrar que, para quaisquer , o produto
também pertence a
. Note que
é exatamente o conjunto das raízes quárticas da unidade em
. De fato, se fizermos a tabela de multiplicação, todos os produtos são
Precisamos mostrar que, para quaisquer
isto é, sempre elementos de
. Por exemplo:
e assim por diante. Logo,
é fechado sob
.
Passo 3
Verificar a associatividade:
A multiplicação de números complexos é associaltiva em todo . Assim, para quaisquer
, vale
A multiplicação de números complexos é associaltiva em todo
Portanto, a associatividade é herdada da operação em
.
Passo 4
Existência de elemento neutro:
O número satisfaz
O número
para todo
. Como
, esse é o elemento neutro de
.
Passo 5
Existência de inversos:
Para cada elemento devemos encontrar
tal que
. Observe:
Para cada elemento
Todos esses inversos pertencem a
.
Resposta
Portanto,
satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inversos, logo é um grupo.