Seja o conjunto G=\{1,(-1+i \sqrt{3}) / 2,(-1-i \sqrt{3}) / 2\}, sendo i a UNIDADE IMAGINÁRIA ( i^{2}=-1 ). Mostrar que ( G,. ) é um GRUPO.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = \left\{\,1,\;\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},\;\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right\}
e pede para mostrar que (G,\cdot) é um grupo.
O conteúdo é teoria de grupos finitos em \mathbb{C}.
Para provar que (G,\cdot) é um grupo, precisamos verificar quatro axiomas:
  1. associatividade da multiplicação em G,
  2. existência de elemento neutro em G,
  3. fechamento de G sob multiplicação,
  4. existência de inversos em G.

Passo 2

A multiplicação de números complexos é associativa. Logo, para quaisquer z,w,u\in G, vale
(z\cdot w)\cdot u = z\cdot(w\cdot u).
Portanto, o axioma da associatividade está garantido.

Passo 3

O elemento 1 pertence a G e, para todo z\in G, temos
1\cdot z = z\cdot 1 = z.
Assim, 1 é o elemento neutro em (G,\cdot).

Passo 4

Para mostrar o fechamento, note que cada z\in G satisfaz z^3=1. Se z,w\in G, então
(z\cdot w)^3 = z^3 \cdot w^3 = 1\cdot 1 = 1,
ou seja, z\cdot w também é raiz cúbica de 1 e pertence a G.

Passo 5

Finalmente, todo elemento de G tem inverso em G. De fato:
  • O inverso de 1 é 1.
  • Se z=\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, então \overline{z}=\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} e
z\cdot \overline{z} = |z|^2 = 1,
logo \overline{z}\in G é o inverso de z.
  • Analogamente, o inverso de \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} é \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}.

Resposta

Portanto, (G,\cdot) satisfaz todos os axiomas de grupo e é de fato um grupo.

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