Seja o conjunto
, sendo
a UNIDADE IMAGINÁRIA (
). Mostrar que (
. ) é um GRUPO.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
é um grupo.
O conteúdo é teoria de grupos finitos em .
Para provar que é um grupo, precisamos verificar quatro axiomas:
O conteúdo é teoria de grupos finitos em
Para provar que
- associatividade da multiplicação em
, - existência de elemento neutro em
, - fechamento de
sob multiplicação, - existência de inversos em
.
Passo 2
A multiplicação de números complexos é associativa. Logo, para quaisquer
, vale
Portanto, o axioma da associatividade está garantido.
Passo 3
O elemento
pertence a
e, para todo
, temos
Assim,
é o elemento neutro em
.
Passo 4
Para mostrar o fechamento, note que cada
satisfaz
. Se
, então
ou seja,
também é raiz cúbica de
e pertence a
.
Passo 5
Finalmente, todo elemento de
tem inverso em
. De fato:
- O inverso de
é . - Se
, então e
logo
é o inverso de
.
- Analogamente, o inverso de
é .
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de grupo e é de fato um grupo.