Mostrar que os limites seguintes não existem:

Passo 1

A questão pede para mostrar que o limite em duas variáveis. Conteúdo: limites em várias variáveis e método de trajetórias (paths). Vamos usar o fato de que, se o limite existe, o valor ao longo de qualquer caminho até a origem deve ser o mesmo. Para resolver, escolhemos duas trajetórias simples que deem respostas diferentes.

Passo 2

Passo 1: analisar o caminho y=0
Substituindo y=0 na função, o numerador fica
0^4 + 3x^2cdot0^2 + 2cdot0cdot x^3 = 0
e o denominador é
(0^2 + x^2)^2 = x^4
Logo a razão é
0x^4 = 0
Portanto, seguindo y=0 o limite vale 0.

Passo 3

Passo 2: analisar o caminho y=x
Substituindo y=x na função, o numerador fica
x^4 + 3x^2cdot x^2 + 2xcdot x^3 = x^4 + 3x^4 + 2x^4 = 6x^4
e o denominador é
(x^2 + x^2)^2 = (2x^2)^2 = 4x^4
Assim a razão é
6x^44x^4 = 64 = 32
Portanto, seguindo y=x o limite vale 3/2.

Passo 4

Passo 3: conclusão
Como pelos dois caminhos obtivemos valores diferentes (0 e 3/2), o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados