Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno:
da reta
da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno da reta y=2, a região limitada pelas curvas y=x^{2}-4 e y=x-2. Esse é um problema de volume de revolução: podemos usar o método dos discos (ou anéis) integrando em x, ou o método das cascas cilíndricas integrando em y. Para isso, vamos precisar achar os pontos de interseção, os raios (ou a altura da casca) e os limites de integração.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas: x^{2}-4=x-2. Isso leva a x^{2}-x-2=0, cujas raízes são x=-1 e x=2. Logo a região está para x\in[-1,2] e, em y, varia de y=-3 a y=0.
Passo 3
Pelo método dos discos/anéis (cortes perpendiculares ao eixo y=2), cada seção em x gera um anel de raio externo R(x)= distância de y=2 até a curva inferior y=x^{2}-4, ou seja R(x)=2-(x{2}-4)=6-x{2}, e raio interno r(x)= distância de y=2 até a curva superior y=x-2, ou seja r(x)=2-(x-2)=4-x.
Passo 4
Pelo método das cascas cilíndricas (tiras paralelas ao eixo y=2), fazemos tiras horizontais em y\in[-3,0]. Cada casca tem raio =2-y e altura igual à diferença x_{direita}(y)-x_{esquerda}(y). Da curva y=x-2 vem x_{esq}(y)=y+2 e da parábola y=x^{2}-4, tomando a rama positiva, vem x_{dir}(y)=\sqrt{y+4}. Portanto a altura da casca é \sqrt{y+4}-(y+2).
Passo 5
Agora temos tudo que precisamos para escrever as integrais que calculam o volume pelo método dos discos e pelo método das cascas.
Resposta
Pelo método dos discos (ou anéis):
Pelo método das cascas cilíndricas: