Seja o estado de deformação em um ponto dado por:
\varepsilon=\left[\begin{array}{ccc}0,01 & -0,02 & 0 \\\\ -0,02 & 0,03 & -0,01 \\\\ 0 & -0,01 & 0\end{array}\right]_{\mathrm{xyz}}
Determine a deformação linear na direção representada pelos co-senos diretores l=0,6; m=0; e n=0,8.

Passo 1

O enunciado dá a matriz do estado de deformação num ponto, expressa nas direções x,y,z:
\varepsilon = \begin{pmatrix} 0,01 & -0,02 & 0\\[4pt] -0,02 & 0,03 & -0,01\\[4pt] 0 & -0,01 & 0 \end{pmatrix}_{\mathrm{xyz}}
e nos informa os co-senos diretores da direção onde queremos a deformação linear: l=0,6, m=0 e n=0,8.
O que se pede: determinar a deformação linear (ou deformação normal) na direção definida por esses co-senos diretores.
Dados relevantes listados:
  • matriz de deformação \varepsilon_{ij} com elementos \varepsilon_{11}=0,01, \varepsilon_{12}=-0,02, \varepsilon_{13}=0, \varepsilon_{22}=0,03, \varepsilon_{23}=-0,01, \varepsilon_{33}=0;
  • vetor diretor unitário com componentes l=0,6, m=0, n=0,8.]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a deformação normal \varepsilon_n ao longo de um vetor unitário \mathbf{a}=[l\; m\; n]^T é dada pela multiplicação quadrática
\varepsilon_n = \mathbf{a}^T \varepsilon \mathbf{a}.
O que isso significa, na prática: multiplicamos a matriz \varepsilon pelo vetor diretior \mathbf{a}, obtendo outro vetor, e então fazemos o produto escalar desse resultado com \mathbf{a}. É uma forma compacta de somar todas as contribuições das componentes da matriz de deformação na direção desejada.
Explicando as letras:
  • \varepsilon_{ij} são os elementos da matriz de deformação; i,j\in\{1,2,3\} correspondem a x,y,z;
  • l,m,n são os co-senos diretores do vetor (componentes do vetor unitário na base x,y,z);
  • \varepsilon_n é o escalar que representa a deformação normal na direção desse vetor.

Passo 3

Fórmula expandida (útil para calcular sem confusão): em componentes
\varepsilon_n = \varepsilon_{11}l^2 + \varepsilon_{22}m^2 + \varepsilon_{33}n^2 + 2\varepsilon_{12}lm + 2\varepsilon_{13}ln + 2\varepsilon_{23}mn.
Cada termo tem interpretação clara: por exemplo \varepsilon_{11}l^2 é a contribuição da deformação na direção x projetada sobre a direção pedida, e os termos com fator 2 vêm das componentes de cisalhamento que contribuem para a deformação normal quando projetadas na direção.

Passo 4

Calculemos as grandezas intermediárias (com contas bem explícitas):
  • l^2 = (0,6)^2 = 0,36.
  • m^2 = 0^2 = 0.
  • n^2 = (0,8)^2 = 0,64.
  • lm = 0,6\cdot 0 = 0.
  • ln = 0,6\cdot 0,8 = 0,48.
  • mn = 0\cdot 0,8 = 0.
Agora avaliaremos cada termo da soma:
  • \varepsilon_{11}l^2 = 0,01\cdot 0,36 = 0,0036.
  • \varepsilon_{22}m^2 = 0,03\cdot 0 = 0.
  • \varepsilon_{33}n^2 = 0\cdot 0,64 = 0.
  • 2\varepsilon_{12}lm = 2\cdot(-0,02)\cdot 0 = 0.
  • 2\varepsilon_{13}ln = 2\cdot 0 \cdot 0,48 = 0.
  • 2\varepsilon_{23}mn = 2\cdot(-0,01)\cdot 0 = 0.
Somando todas as contribuições:
\varepsilon_n = 0,0036 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,0036.

Passo 5

Verificação pelo produto matricial (mesma ideia, outra rota): primeiro calculamos \varepsilon\mathbf{a}.
O vetor \mathbf{a}=\begin{pmatrix}0,6\\[2pt]0\\[2pt]0,8\end{pmatrix}.
Multiplicando:
\varepsilon\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 0,01 & -0,02 & 0\\[4pt] -0,02 & 0,03 & -0,01\\[4pt] 0 & -0,01 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,6\\[2pt]0\\[2pt]0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,01\cdot 0,6 + (-0,02)\cdot 0 + 0\cdot 0,8\\[4pt] -0,02\cdot 0,6 + 0,03\cdot 0 + (-0,01)\cdot 0,8\\[4pt] 0\cdot 0,6 + (-0,01)\cdot 0 + 0\cdot 0,8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,006\\[2pt]-0,02\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Agora fazemos o produto escalar \mathbf{a}^T(\varepsilon\mathbf{a}):
\varepsilon_n = 0,6\cdot 0,006 + 0\cdot(-0,02) + 0,8\cdot 0 = 0,0036.
Confere com o cálculo expandido do passo anterior.]

Passo 6

Interpretação e conclusão: o valor obtido \varepsilon_n=0,0036 é positivo, portanto a pequena deformação nessa direção é de alongamento (extensão) e equivale a 0{,}36\% de alongamento (pois 0{,}0036 = 0{,}36\%). Força-te a lembrar dessa interpretação na prova: sinal positivo → alongamento; sinal negativo → contração.
Força aí — resumo prático para a prova: você pode usar a fórmula expandida rápida ou multiplicar \mathbf{a}^T\varepsilon\mathbf{a}. Sinal e ordem de grandeza são fáceis de ver assim.

Resposta

\varepsilon_n = 0,0036

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