Seja o estado de deformação em um ponto dado por: \varepsilon=\left[\begin{array}{ccc}0,01 & -0,02 & 0 \\\\ -0,02 & 0,03 & -0,01 \\\\ 0 & -0,01 & 0\end{array}\right]_{\mathrm{xyz}}
Determine a deformação linear na direção representada pelos co-senos diretores l=0,6; m=0; e n=0,8.
Passo 1
O enunciado dá a matriz do estado de deformação num ponto, expressa nas direções x,y,z:
e nos informa os co-senos diretores da direção onde queremos a deformação linear: l=0,6, m=0 e n=0,8.
O que se pede: determinar a deformação linear (ou deformação normal) na direção definida por esses co-senos diretores.
Dados relevantes listados:
matriz de deformação \varepsilon_{ij} com elementos \varepsilon_{11}=0,01, \varepsilon_{12}=-0,02, \varepsilon_{13}=0, \varepsilon_{22}=0,03, \varepsilon_{23}=-0,01, \varepsilon_{33}=0;
vetor diretor unitário com componentes l=0,6, m=0, n=0,8.]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a deformação normal \varepsilon_n ao longo de um vetor unitário \mathbf{a}=[l\; m\; n]^T é dada pela multiplicação quadrática
O que isso significa, na prática: multiplicamos a matriz \varepsilon pelo vetor diretior \mathbf{a}, obtendo outro vetor, e então fazemos o produto escalar desse resultado com \mathbf{a}. É uma forma compacta de somar todas as contribuições das componentes da matriz de deformação na direção desejada.
Explicando as letras:
\varepsilon_{ij} são os elementos da matriz de deformação; i,j\in\{1,2,3\} correspondem a x,y,z;
l,m,n são os co-senos diretores do vetor (componentes do vetor unitário na base x,y,z);
\varepsilon_n é o escalar que representa a deformação normal na direção desse vetor.
Passo 3
Fórmula expandida (útil para calcular sem confusão): em componentes
Cada termo tem interpretação clara: por exemplo \varepsilon_{11}l^2 é a contribuição da deformação na direção x projetada sobre a direção pedida, e os termos com fator 2 vêm das componentes de cisalhamento que contribuem para a deformação normal quando projetadas na direção.
Passo 4
Calculemos as grandezas intermediárias (com contas bem explícitas):
Confere com o cálculo expandido do passo anterior.]
Passo 6
Interpretação e conclusão: o valor obtido \varepsilon_n=0,0036 é positivo, portanto a pequena deformação nessa direção é de alongamento (extensão) e equivale a 0{,}36\% de alongamento (pois 0{,}0036 = 0{,}36\%). Força-te a lembrar dessa interpretação na prova: sinal positivo → alongamento; sinal negativo → contração.
Força aí — resumo prático para a prova: você pode usar a fórmula expandida rápida ou multiplicar \mathbf{a}^T\varepsilon\mathbf{a}. Sinal e ordem de grandeza são fáceis de ver assim.