\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & y \end{array}\right)
onde y é um número real não nulo, verificam a equação X^{2}=2 X.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
X=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & y\end{pmatrix}
com y um número real não nulo, verifica a equação
X^{2}=2X.
Informações dadas: a matriz X é 2\times2 com entradas 1,1,1,y (o valor y é um real e y\neq0). A pergunta implícita é: para quais valores de y a igualdade matricial X^{2}=2X vale? (ou seja, mostrar se e quando essa igualdade é verdadeira).]
Para que X^{2}=2X seja verdadeira, as entradas correspondentes das matrizes devem ser iguais (igualdade matricial é entrada a entrada). Igualando termo a termo obtemos o sistema
2=2,\qquad 1+y=2,\qquad 1+y=2,\qquad 1+y^{2}=2y.
As duas equações 1+y=2 (para entradas (1,2) e (2,1)) dão
que também dá y=1. Todas as igualdades são consistentes apenas quando y=1.
Passo 6
Concluímos que a igualdade matricial X^{2}=2X ocorre exatamente para y=1. Note que y=1 satisfaz a condição y\neq0 do enunciado, portanto está dentro do conjunto permitido. Para y\neq1 a igualdade não vale (por exemplo, as entradas (1,2) e (2,1) não coincidem com as de 2X).