Mostrar que as matrizes
\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & y \end{array}\right)
onde y é um número real não nulo, verificam a equação X^{2}=2 X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
X=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & y\end{pmatrix}
com y um número real não nulo, verifica a equação
X^{2}=2X.
Informações dadas: a matriz X é 2\times2 com entradas 1,1,1,y (o valor y é um real e y\neq0). A pergunta implícita é: para quais valores de y a igualdade matricial X^{2}=2X vale? (ou seja, mostrar se e quando essa igualdade é verdadeira).]

Passo 2

Recordando como multiplicar matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt]g & h\end{pmatrix},
então o produto AB tem entradas dadas por
(AB)_{11}=ae+bg,\qquad (AB)_{12}=af+bh,
(AB)_{21}=ce+dg,\qquad (AB)_{22}=cf+dh.
Vou aplicar essa regra para calcular X^{2}=X\cdot X.]

Passo 3

Calculemos X^{2} aplicando a regra anterior com
X=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & y\end{pmatrix}.
As entradas de X^{2} são:
(X^{2})_{11}=1\cdot1 + 1\cdot1 = 1+1 = 2,
(X^{2})_{12}=1\cdot1 + 1\cdot y = 1 + y,
(X^{2})_{21}=1\cdot1 + y\cdot1 = 1 + y,
(X^{2})_{22}=1\cdot1 + y\cdot y = 1 + y^{2}.
Portanto
X^{2}=\begin{pmatrix}2 & 1+y\\[4pt]1+y & 1+y^{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculemos 2X (multiplicação de uma matriz por escalar): multiplicar cada entrada de X por 2:
2X=2\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 2y\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para que X^{2}=2X seja verdadeira, as entradas correspondentes das matrizes devem ser iguais (igualdade matricial é entrada a entrada). Igualando termo a termo obtemos o sistema
2=2,\qquad 1+y=2,\qquad 1+y=2,\qquad 1+y^{2}=2y.
As duas equações 1+y=2 (para entradas (1,2) e (2,1)) dão
1+y=2\quad\Rightarrow\quad y=1.
A equação da entrada (2,2) é
1+y^{2}=2y\quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y+1=0\quad\Rightarrow\quad (y-1)^{2}=0,
que também dá y=1. Todas as igualdades são consistentes apenas quando y=1.

Passo 6

Concluímos que a igualdade matricial X^{2}=2X ocorre exatamente para y=1. Note que y=1 satisfaz a condição y\neq0 do enunciado, portanto está dentro do conjunto permitido. Para y\neq1 a igualdade não vale (por exemplo, as entradas (1,2) e (2,1) não coincidem com as de 2X).

Passo 7

Verificação final substituindo y=1: a matriz fica
X=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando,
X^{2}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=2X,
confirmando a solução y=1.]

Resposta

y=1

Exercícios relacionados