Verificar se as funções ímpares f:[-a, a] \rightarrow \mathbb{R}, a>0, pertencem ao subespaço
W=\left\{f \in \mathcal{C}([-a, a]): \int_{-a}^{a} f(t) d t=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se f:[-a,a]\to\mathbb{R} é contínua e ímpar (isto é, f(-t)=-f(t) para todo t), então
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0,
ou seja, f\in W. O conteúdo usado aqui é o fato de que a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico se anula.

Passo 2

Vamos decompor a integral em duas partes:
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt = \int_{-a}^{0}f(t)\,dt + \int_{0}^{a}f(t)\,dt.

Passo 3

Na primeira parcela, fazemos a mudança de variável t=-u. Quando t=-a, u=a; quando t=0, u=0; e dt=-du. Assim,
\int_{-a}^{0}f(t)\,dt = \int_{u=a}^{u=0}f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a}f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u), vem
\int_{-a}^{0}f(t)\,dt = \int_{0}^{a}\bigl(-f(u)\bigr)\,du = -\,\int_{0}^{a}f(u)\,du.

Passo 4

Substituindo no item anterior em
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt = \int_{-a}^{0}f(t)\,dt + \int_{0}^{a}f(t)\,dt
obtemos
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt = -\,\int_{0}^{a}f(u)\,du + \int_{0}^{a}f(t)\,dt = 0.

Resposta

Qualquer função ímpar contínua em [-a,a] satisfaz \int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0, logo pertence a W.

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