Verificar se as funções ímpares
, pertencem ao subespaço
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é contínua e ímpar (isto é,
para todo
), então
ou seja,
. O conteúdo usado aqui é o fato de que a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico se anula.
Passo 2
Vamos decompor a integral em duas partes:
Passo 3
Na primeira parcela, fazemos a mudança de variável
. Quando
,
; quando
,
; e
. Assim,
Como
é ímpar,
, vem
Passo 4
Substituindo no item anterior em
obtemos
Resposta
Qualquer função ímpar contínua em
satisfaz
, logo pertence a
.