Mostrar que n^4+4,1<n in N é sempre um número composto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN com n>1, o número
n^4 + 4
é composto. O conteúdo principal aqui é fatorar essa expressão, usando a identidade de diferença de quadrados.

Passo 2

Observe que podemos escrever
n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 ;-; 4n^2
O trecho n^4 + 4n^2 + 4 é um quadrado perfeito, pois
n^4 + 4n^2 + 4 = (n^2 + 2)^2
Logo,
n^4 + 4 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da diferença de quadrados: para quaisquer A e B,
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
Aqui, A = n^2 + 2 e B = 2n. Então
n^4 + 4 = l((n^2 + 2) - 2nr),l((n^2 + 2) + 2nr)
Isto é,
n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2),(n^2 + 2n + 2)

Passo 4

Para concluir que n^4+4 é composto, basta ver que ambos os fatores são maiores que 1 quando n>1. De fato:
n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1 >= 1^2 + 1 = 2,
e
n^2 + 2n + 2 = n^2 + 2n + 1 + 1 = (n+1)^2 + 1 >= 2
Como cada fator é pelo menos 2, a expressão não é 1 nem primo, logo é composta.

Resposta

n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2),(n^2 + 2n + 2),
com ambos os fatores maiores que 1 para n>1, mostrando que n^4+4 é sempre composto.

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