Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais 3 n-4,4 n-5 e 5 n-3 são todos números primos.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos n tais que
3n - 4, 4n - 5, 5n - 3
são todos primos. O conteúdo usado será análise de paridade e fatoração simples para restringir n.

Passo 2

Observe que, se n for ímpar, então 5n é ímpar e
5n - 3 = ímpar - ímpar = par íí
com valor pelo menos 5cdot3-3=12, logo compost o. A única chance de um par ser primo é ele ser 2, mas para 5n-3=2 teríamos 5n=5 e n=1, o que faz 3n-4=-1 não primo.
Portanto n não pode ser ímpar; deve ser par.

Passo 3

Escrevendo n=2k, temos
3n - 4 = 6k - 4 = 2,(3k - 2)
Para que isso seja primo, ou o fator 3k-2 vale 1 (deixando 2) ou é -1 (impossível para k>0). Logo 3k-2=1 implica 3k=3 e k=1. Assim n=2k=2.

Passo 4

Verificamos em n=2:
3cdot2-4=2, 4cdot2-5=3, 5cdot2-3=7,
todos de fato primos. Não há outro k que satisfaça a condição, pois se k>1 então 3k-2>1 e 6k-4 seria par maior que 2, composto.

Resposta

n=2 é o único inteiro positivo que faz os três números serem primos.

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