Se p e q são números primos e x^2-p x+q=0 tem raízes inteiras positivas, determine p e q.

Passo 1

O enunciado diz que p e q são números primos e que a equação
x^2-p x+q=0
tem duas raízes inteiras e positivas. O conteúdo aqui é usar as fórmulas de Viète, que relacionam soma e produto das raízes de uma equação quadrática com seus coeficientes.

Passo 2

Sejam as raízes dessa equação ,r1 e ,r2. Pelas fórmulas de Viète, temos
r1+r2=p
r1r2=q
e sabemos que r1 e r2 são inteiras e positivas.

Passo 3

Como q é primo e q=r1r2 com r1,r2inZ^+, a única fatoração possível é uma das raízes igual a 1 e a outra igual a q. Logo
r1,r2=1,q

Passo 4

Da soma das raízes vem
1+q=p
Como p também é primo, q+1 deve ser primo. Se q>2 então q é ímpar e q+1 é par maior que 2, logo não primo. A única possibilidade é q=2, dando
p=1+2=3

Resposta

p=3 e q=2

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