Se
e
são números primos e
tem raízes inteiras positivas, determine
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são números primos e que a equação
tem duas raízes inteiras e positivas. O conteúdo aqui é usar as fórmulas de Viète, que relacionam soma e produto das raízes de uma equação quadrática com seus coeficientes.
Passo 2
Sejam as raízes dessa equação
e
. Pelas fórmulas de Viète, temos
e sabemos que
e
são inteiras e positivas.
Passo 3
Como
é primo e
com
, a única fatoração possível é uma das raízes igual a
e a outra igual a
. Logo
Passo 4
Da soma das raízes vem
Como
também é primo,
deve ser primo. Se
então
é ímpar e
é par maior que
, logo não primo. A única possibilidade é
, dando