Mostrar que
Se
é par
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido):
- Dado:
é um número inteiro par. - Pedido: mostrar que
divide o produto ; isto é, provar que
Informações úteis que vamos usar depois (apenas listadas aqui):
-
. - O produto
é o produto de três inteiros consecutivos.
Passo 2
Definição e estratégia (explicada passo a passo):
- Lembrete sobre divisibilidade: dizer que
divide (escrevemos ) significa que existe um inteiro tal que . - Fato prático: se queremos provar que
e sabemos que e que e são coprimos (ou seja, ), basta provar que e . Então a estratégia será: - Mostrar que
. - Mostrar que
. - Concluir que
.
- Mostrar que
Passo 3
Prova de
:
- Observação simples sobre restos na divisão por
: qualquer inteiro dá resto , ou quando dividido por . Ou seja, para todo inteiro existe uma destas possibilidades: -
, -
, -
.
-
- Verificação caso a caso:
- Se
então e portanto . - Se
então e então , logo . - Se
então e portanto , logo .
- Se
- Conclusão deste passo: para qualquer inteiro
(em particular para par) vale
Passo 4
Prova de
usando que
é par:
- Como
é par, escrevemos para algum inteiro . - Substituindo na expressão:
- Reescrevendo
como , obtemos
- Agora analisamos os fatores
e : são dois inteiros consecutivos, portanto um deles é par. Logo é múltiplo de ; em símbolos,
- Usando isso na expressão anterior, há um fator extra
, então no total há pelo menos como fator multiplicativo. Formalizando: - Existe um inteiro
tal que . - Substituindo:
- Portanto
.
- Existe um inteiro
- Conclusão deste passo: para
par vale
Passo 5
Conclusão final combinando os resultados:
- Do Passo 3 temos
. - Do Passo 4 temos
. - Como
, ter divisibilidade por e por implica divisibilidade por . Logo
- Intuição rápida: entre três inteiros consecutivos há sempre um múltiplo de
; se o primeiro deles é par, ao fatorizar aparecem pelo menos três fatores no produto, garantindo o . Juntando com chega-se a .