Mostrar que
Se n é par 24 \mid n(n+1)(n+2).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido):
  • Dado: n é um número inteiro par.
  • Pedido: mostrar que 24 divide o produto n(n+1)(n+2); isto é, provar que
24 \mid n(n+1)(n+2).
Informações úteis que vamos usar depois (apenas listadas aqui):
  • 24 = 2^3\cdot 3.
  • O produto n(n+1)(n+2) é o produto de três inteiros consecutivos.

Passo 2

Definição e estratégia (explicada passo a passo):
  • Lembrete sobre divisibilidade: dizer que a divide b (escrevemos a\mid b) significa que existe um inteiro m tal que b = a\cdot m.
  • Fato prático: se queremos provar que 24\mid X e sabemos que 24 = 2^3\cdot 3 e que 2^3 e 3 são coprimos (ou seja, \gcd(8,3)=1), basta provar que 8\mid X e 3\mid X. Então a estratégia será:
    1. Mostrar que 3\mid n(n+1)(n+2).
    2. Mostrar que 8\mid n(n+1)(n+2).
    3. Concluir que 24\mid n(n+1)(n+2).

Passo 3

Prova de 3\mid n(n+1)(n+2):
  • Observação simples sobre restos na divisão por 3: qualquer inteiro dá resto 0, 1 ou 2 quando dividido por 3. Ou seja, para todo inteiro n existe uma destas possibilidades:
    • n\equiv 0 \pmod{3},
    • n\equiv 1 \pmod{3},
    • n\equiv 2 \pmod{3}.
  • Verificação caso a caso:
    • Se n\equiv 0\pmod{3} então 3\mid n e portanto 3\mid n(n+1)(n+2).
    • Se n\equiv 1\pmod{3} então n+2\equiv 0\pmod{3} e então 3\mid (n+2), logo 3\mid n(n+1)(n+2).
    • Se n\equiv 2\pmod{3} então n+1\equiv 0\pmod{3} e portanto 3\mid (n+1), logo 3\mid n(n+1)(n+2).
  • Conclusão deste passo: para qualquer inteiro n (em particular para n par) vale
3 \mid n(n+1)(n+2).

Passo 4

Prova de 8\mid n(n+1)(n+2) usando que n é par:
  • Como n é par, escrevemos n = 2k para algum inteiro k.
  • Substituindo na expressão:
n(n+1)(n+2) = 2k\,(2k+1)\,(2k+2).
  • Reescrevendo 2k+2 como 2(k+1), obtemos
n(n+1)(n+2) = 2k\,(2k+1)\,2(k+1) = 4\;k\,(2k+1)\,(k+1).
  • Agora analisamos os fatores k e k+1: são dois inteiros consecutivos, portanto um deles é par. Logo k(k+1) é múltiplo de 2; em símbolos,
2 \mid k(k+1).
  • Usando isso na expressão anterior, há um fator extra 2, então no total há pelo menos 4\cdot 2 = 8 como fator multiplicativo. Formalizando:
    • Existe um inteiro t tal que k(k+1)=2t.
    • Substituindo:
    n(n+1)(n+2) = 4\;k\,(2k+1)\,(k+1) = 4\cdot 2 \; t \; (2k+1) = 8 \cdot \bigl(t(2k+1)\bigr).
    • Portanto 8\mid n(n+1)(n+2).
  • Conclusão deste passo: para n par vale
8 \mid n(n+1)(n+2).

Passo 5

Conclusão final combinando os resultados:
  • Do Passo 3 temos 3\mid n(n+1)(n+2).
  • Do Passo 4 temos 8\mid n(n+1)(n+2).
  • Como \gcd(8,3)=1, ter divisibilidade por 8 e por 3 implica divisibilidade por 8\cdot 3 = 24. Logo
24 \mid n(n+1)(n+2).
  • Intuição rápida: entre três inteiros consecutivos há sempre um múltiplo de 3; se o primeiro deles é par, ao fatorizar aparecem pelo menos três fatores 2 no produto, garantindo o 2^3. Juntando 2^3 com 3 chega-se a 24.

Resposta

24 \mid n(n+1)(n+2)

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