Sejam a, b inteiros. Estabelecer a equivalência: 17 \mid 2 a+3 b \Longleftrightarrow 17 \mid 9 a+5 b.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são inteiros e pede para estabelecer a equivalência
17 \mid 2a+3b \Longleftrightarrow 17 \mid 9a+5b.
Em outras palavras, é preciso mostrar que:
  • se 17 divide 2a+3b então 17 divide 9a+5b;
  • e se 17 divide 9a+5b então 17 divide 2a+3b.

Passo 2

Primeiro um pouco de ideia útil (explicação didática curta e prática).
  • A notação 17\mid x significa que existe um inteiro t tal que x=17t. Isso é equivalente a dizer x\equiv 0 \pmod{17}.
  • Se 17\mid x então, para qualquer inteiro k, também vale 17\mid kx (multiplicar por um inteiro preserva divisibilidade).
  • Trabalhar com congruências modulo 17 é conveniente: duas expressões são congruentes modulo 17 quando a diferença é múltipla de 17.
  • Em \mathbb{Z}_{17} (inteiros módulo 17) todo número diferente de 0 tem inverso multiplicativo porque 17 é primo. Para usar inversos concretos, pode-se encontrar u tal que cu\equiv1\pmod{17} por tentativa ou algoritmo de Euclides estendido (ex.: 2\cdot9=18\equiv1\pmod{17}, logo 2^{-1}\equiv9; 5\cdot7=35\equiv1\pmod{17}, logo 5^{-1}\equiv7).
Vou usar essas ideias para construir relações lineares entre 9a+5b e 2a+3b.

Passo 3

Mostrando a implicação \;17\mid 2a+3b \Rightarrow 17\mid 9a+5b.
Procuramos um inteiro k tal que
9a+5b \equiv k(2a+3b)\pmod{17}.
Isto equivale ao sistema de congruências para os coeficientes:
2k\equiv 9\pmod{17},\qquad 3k\equiv 5\pmod{17}.
Basta achar um k que satisfaça uma (e então verificaremos a outra). Como observado, 2^{-1}\equiv 9\pmod{17} porque 2\cdot9=18\equiv1. Multiplicando 2k\equiv9 por 2^{-1} obtemos
k\equiv 9\cdot 9 = 81 \equiv 81-4\cdot17 = 81-68 = 13 \pmod{17}.
Tomando k=13 (qualquer representante congruente serve), verificamos a segunda condição:
3\cdot 13 = 39 \equiv 39-2\cdot17 = 39-34 = 5 \pmod{17},
portanto 3\cdot13\equiv5\pmod{17} também. Logo
9a+5b \equiv 13(2a+3b)\pmod{17}.
Agora se 17\mid 2a+3b então 2a+3b=17t para algum inteiro t. Multiplicando por 13 13(2a+3b)=17\cdot(13t), isto é, 13(2a+3b) é múltiplo de 17. Como 9a+5b\equiv 13(2a+3b)\pmod{17}, a diferença 9a+5b-13(2a+3b) é múltipla de 17, e portanto 9a+5b também é múltiplo de 17. Assim 17\mid 9a+5b.
(Se quiser ver a conta algébrica direta: 13(2a+3b)=26a+39b=9a+5b+17(a+2b), daí fica claro que se 17\mid 2a+3b então 17\mid 9a+5b.)

Passo 4

Mostrando a implicação \;17\mid 9a+5b \Rightarrow 17\mid 2a+3b.
Procedimento análogo: procuramos k' tal que
2a+3b \equiv k'(9a+5b)\pmod{17}.
Isso exige
9k'\equiv 2\pmod{17},\qquad 5k'\equiv 3\pmod{17}.
Usamos 5^{-1}\equiv7\pmod{17} porque 5\cdot7=35\equiv1. Multiplicando 5k'\equiv3 por 5^{-1} obtemos
k'\equiv 7\cdot 3 = 21 \equiv 21-17 = 4 \pmod{17}.
Tomando k'=4, verificamos a primeira condição:
9\cdot 4 = 36 \equiv 36-2\cdot17 = 36-34 = 2 \pmod{17}.
Portanto
2a+3b \equiv 4(9a+5b)\pmod{17}.
Se 17\mid 9a+5b então 9a+5b=17s e 4(9a+5b)=17\cdot(4s) é múltiplo de 17; como 2a+3b\equiv 4(9a+5b)\pmod{17}, segue que 17\mid 2a+3b.
(Conta algébrica direta: 4(9a+5b)=36a+20b=2a+3b+17(2a+b).)

Passo 5

Concluímos ambas as implicações, portanto as duas condições são equivalentes: 17\mid 2a+3b se, e somente se, 17\mid 9a+5b.

Resposta

\;17 \mid 2a+3b \Longleftrightarrow 17 \mid 9a+5b

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