Sejam
inteiros. Estabelecer a equivalência:
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros e pede para estabelecer a equivalência
Em outras palavras, é preciso mostrar que:
- se
divide então divide ; - e se
divide então divide .
Passo 2
Primeiro um pouco de ideia útil (explicação didática curta e prática).
- A notação
significa que existe um inteiro tal que . Isso é equivalente a dizer . - Se
então, para qualquer inteiro , também vale (multiplicar por um inteiro preserva divisibilidade). - Trabalhar com congruências modulo
é conveniente: duas expressões são congruentes modulo quando a diferença é múltipla de . - Em
(inteiros módulo ) todo número diferente de tem inverso multiplicativo porque é primo. Para usar inversos concretos, pode-se encontrar tal que por tentativa ou algoritmo de Euclides estendido (ex.: , logo ; , logo ).
Vou usar essas ideias para construir relações lineares entre
e
.
Passo 3
Mostrando a implicação
.
Procuramos um inteiro
tal que
Isto equivale ao sistema de congruências para os coeficientes:
Basta achar um
que satisfaça uma (e então verificaremos a outra). Como observado,
porque
. Multiplicando
por
obtemos
Tomando
(qualquer representante congruente serve), verificamos a segunda condição:
portanto
também. Logo
Agora se
então
para algum inteiro
. Multiplicando por
dá
, isto é,
é múltiplo de
. Como
, a diferença
é múltipla de
, e portanto
também é múltiplo de
. Assim
.
(Se quiser ver a conta algébrica direta:
, daí fica claro que se
então
.)
Passo 4
Mostrando a implicação
.
Procedimento análogo: procuramos
tal que
Isso exige
Usamos
porque
. Multiplicando
por
obtemos
Tomando
, verificamos a primeira condição:
Portanto
Se
então
e
é múltiplo de
; como
, segue que
.
(Conta algébrica direta:
.)
Passo 5
Concluímos ambas as implicações, portanto as duas condições são equivalentes:
se, e somente se,
.