Sejam
inteiros. Mostrar que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá que
são inteiros e pede para mostrar a equivalência lógica:
Ou seja, provar que a divisibilidade de
por
ocorre exatamente quando a divisibilidade de
por
também ocorre. As informações relevantes:
e a relação a provar envolve apenas operações inteiras e divisibilidade.
Passo 2
Lembrar (definição e propriedade básica) do que significa divisibilidade e uma propriedade útil.
- Definição: para inteiros
e , escrever significa que existe um inteiro tal que . - Propriedade linear: se
e então para quaisquer inteiros vale . Explicação: se e então , e é inteiro, logo divisível por .
Essa propriedade será usada para combinar termos e mostrar a implicação de um lado para o outro.
Passo 3
Encontrar uma identidade algébrica que relacione
e
envolvendo o fator
. Calcular a diferença:
Agrupando termos com
e com
:
Fatorando
:
Portanto obtemos a identidade útil (display):
Passo 4
Usar a identidade para provar a implicação
.
Suponha que
. Então, por definição, existe
tal que
Da identidade do passo anterior temos
Substituindo
nessa expressão:
Como
é inteiro, concluímos que
. Assim a implicação foi demonstrada.
Passo 5
Provar a implicação inversa
.
A partir da identidade do passo 3 podemos escrever simetricamente
Se
então existe
tal que
. Substituindo:
Como
é inteiro, segue que
. Assim a implicação inversa também é verdadeira.
Passo 6
Concluir a equivalência: pelas implicações dos passos 4 e 5 obtemos a bicondicional desejada. A razão principal é a identidade do passo 3 que mostra que os dois números diferem por um múltiplo de
; portanto a divisibilidade de um implica a divisibilidade do outro.