Sejam a, b, m, n inteiros. Mostrar que (a-m) \mid(a b+m n) se, e somente se, (a-m) \mid(a n+b m).

Passo 1

O enunciado dá que a,b,m,n são inteiros e pede para mostrar a equivalência lógica:
(a-m)\mid(ab+mn)\quad\text{se, e somente se,}\quad (a-m)\mid(an+bm).
Ou seja, provar que a divisibilidade de ab+mn por a-m ocorre exatamente quando a divisibilidade de an+bm por a-m também ocorre. As informações relevantes: a,b,m,n\in\mathbb{Z} e a relação a provar envolve apenas operações inteiras e divisibilidade.

Passo 2

Lembrar (definição e propriedade básica) do que significa divisibilidade e uma propriedade útil.
  • Definição: para inteiros d e x, escrever d\mid x significa que existe um inteiro k tal que x=d\cdot k.
  • Propriedade linear: se d\mid x e d\mid y então para quaisquer inteiros r,s vale d\mid (r x + s y). Explicação: se x=d u e y=d v então r x + s y = d(ru + sv), e ru+sv é inteiro, logo divisível por d.
Essa propriedade será usada para combinar termos e mostrar a implicação de um lado para o outro.

Passo 3

Encontrar uma identidade algébrica que relacione ab+mn e an+bm envolvendo o fator a-m. Calcular a diferença:
(ab+mn)-(an+bm)=ab+mn-an-bm.
Agrupando termos com a e com m:
ab-an - (bm-mn)=a(b-n)-m(b-n).
Fatorando b-n:
a(b-n)-m(b-n)=(a-m)(b-n).
Portanto obtemos a identidade útil (display):
(ab+mn)-(an+bm)=(a-m)(b-n).

Passo 4

Usar a identidade para provar a implicação (a-m)\mid(ab+mn) \Rightarrow (a-m)\mid(an+bm).
Suponha que (a-m)\mid(ab+mn). Então, por definição, existe t\in\mathbb{Z} tal que
ab+mn=(a-m)\,t.
Da identidade do passo anterior temos
an+bm=(ab+mn)-(a-m)(b-n).
Substituindo ab+mn=(a-m)t nessa expressão:
an+bm=(a-m)t-(a-m)(b-n)=(a-m)\bigl(t-(b-n)\bigr).
Como t-(b-n) é inteiro, concluímos que (a-m)\mid(an+bm). Assim a implicação foi demonstrada.

Passo 5

Provar a implicação inversa (a-m)\mid(an+bm) \Rightarrow (a-m)\mid(ab+mn).
A partir da identidade do passo 3 podemos escrever simetricamente
ab+mn=(an+bm)+(a-m)(b-n).
Se (a-m)\mid(an+bm) então existe s\in\mathbb{Z} tal que an+bm=(a-m)s. Substituindo:
ab+mn=(a-m)s+(a-m)(b-n)=(a-m)\bigl(s+(b-n)\bigr).
Como s+(b-n) é inteiro, segue que (a-m)\mid(ab+mn). Assim a implicação inversa também é verdadeira.

Passo 6

Concluir a equivalência: pelas implicações dos passos 4 e 5 obtemos a bicondicional desejada. A razão principal é a identidade do passo 3 que mostra que os dois números diferem por um múltiplo de a-m; portanto a divisibilidade de um implica a divisibilidade do outro.

Resposta

(a-m)\mid(ab+mn)\iff (a-m)\mid(an+bm)

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