Se o resto das divisões de
pelo inteiro
é 1 determinar o resto da divisão de
por
. Dê um exemplo numérico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Informações dadas:
-
e são inteiros. - Ao dividir
por um inteiro obtém‑se resto . - Ao dividir
por esse mesmo inteiro obtém‑se resto .
-
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o resto da divisão de
por . - Dar um exemplo numérico.
- Determinar o resto da divisão de
Observação: implicitamente
deve ser um inteiro maior que
(pois resto
só faz sentido se
).
Passo 2
Entender o que significa “resto
” usando a escrita algébrica padrão.
Quando um inteiro
dividido por
dá resto
, escrevemos isso como
para algum inteiro
. Aqui:
-
é o número dividido (no nosso caso será ou ); -
é o divisor; -
é o quociente inteiro (um inteiro qualquer); - o
é o resto.
Aplicando isso a
e a
, existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Multiplicar as duas expressões para obter
.
Multiplicando membro a membro:
Agora desenvolve o produto:
Passo 4
Fatorar para revelar múltiplos de
e o resto.
Agrupando os termos que têm fator
,
Aqui
é um inteiro (produto e soma de inteiros), digamos
. Então
Isso tem a mesma forma da representação de divisão com resto: um múltiplo de
mais
.
Passo 5
Concluir qual é o resto e explicar de forma conceitual.
Da expressão
segue que, ao dividir
por
, o quociente é
e o resto é
. Portanto o resto pedido é
.
Em linguagem de congruências (opcional e útil para provas rápidas): como
e
, pelo produto das congruências tem‑se
ou seja, resto
.
Passo 6
Exemplo numérico detalhado (fazendo as contas passo a passo).
Escolho
(um inteiro
). Números que deixam resto
ao dividir por
são
.
Tomo e
. Verificações:
Tomo
Multiplicando:
Agora dividir
por
:
porque
. Assim o resto é
, confirmando o resultado geral.
Resposta
O resto é
.
Exemplo: para tem‑se
e o resto da divisão por
é
.
Exemplo: para