Se o resto das divisões de p, s \in \mathbb{Z} pelo inteiro n é 1 determinar o resto da divisão de p s por n. Dê um exemplo numérico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • p e s são inteiros.
    • Ao dividir p por um inteiro n obtém‑se resto 1.
    • Ao dividir s por esse mesmo inteiro n obtém‑se resto 1.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o resto da divisão de p s por n.
    • Dar um exemplo numérico.
Observação: implicitamente n deve ser um inteiro maior que 1 (pois resto 1 só faz sentido se n\ge2).

Passo 2

Entender o que significa “resto 1” usando a escrita algébrica padrão.
Quando um inteiro a dividido por n dá resto 1, escrevemos isso como
a = n\cdot q + 1
para algum inteiro q. Aqui:
  • a é o número dividido (no nosso caso será p ou s);
  • n é o divisor;
  • q é o quociente inteiro (um inteiro qualquer);
  • o 1 é o resto.
Aplicando isso a p e a s, existem inteiros u e v tais que
p = n\cdot u + 1, \qquad s = n\cdot v + 1.

Passo 3

Multiplicar as duas expressões para obter p s.
Multiplicando membro a membro:
p s = (n\cdot u + 1)(n\cdot v + 1).
Agora desenvolve o produto:
p s = n^2 u v + n u + n v + 1.

Passo 4

Fatorar para revelar múltiplos de n e o resto.
Agrupando os termos que têm fator n,
p s = n\bigl(n u v + u + v\bigr) + 1.
Aqui \bigl(n u v + u + v\bigr) é um inteiro (produto e soma de inteiros), digamos k. Então
p s = n\cdot k + 1.
Isso tem a mesma forma da representação de divisão com resto: um múltiplo de n mais 1.

Passo 5

Concluir qual é o resto e explicar de forma conceitual.
Da expressão \,p s = n\cdot k + 1 segue que, ao dividir p s por n, o quociente é k e o resto é 1. Portanto o resto pedido é 1.
Em linguagem de congruências (opcional e útil para provas rápidas): como p\equiv 1\pmod{n} e s\equiv 1\pmod{n}, pelo produto das congruências tem‑se
p s \equiv 1\cdot 1 \equiv 1 \pmod{n},
ou seja, resto 1.

Passo 6

Exemplo numérico detalhado (fazendo as contas passo a passo).
Escolho n=7 (um inteiro \ge2). Números que deixam resto 1 ao dividir por 7 são 1,8,15,22,\dots.
Tomo p=8 e s=15. Verificações:
8 = 7\cdot 1 + 1,\qquad 15 = 7\cdot 2 + 1.
Multiplicando:
p s = 8\cdot 15 = 120.
Agora dividir 120 por 7:
120 = 7\cdot 17 + 1,
porque 7\cdot 17 = 119. Assim o resto é 1, confirmando o resultado geral.

Resposta

O resto é 1.
Exemplo: para n=7,\\ p=8,\\ s=15 tem‑se p s=120 e o resto da divisão por 7 é 1.

Exercícios relacionados