Mostrar que o número a=(1234321)_{b} é sempre um quadrado para todo b>4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número a=(1234321)_{b} é sempre um quadrado para todo b>4.
Informações dadas e condições importantes:
  • O número escrito em base b tem dígitos, do mais significativo ao menos significativo: 1,2,3,4,3,2,1.
  • Pela definição de representação em base, isto significa que cada dígito multiplica uma potência de b.
  • A condição b>4 garante que todos os dígitos 1,2,3,4 são válidos (i.e. menores que b).

Passo 2

Escrever a como um polinômio em b usando a regra da base:
a = 1\cdot b^{6} + 2\cdot b^{5} + 3\cdot b^{4} + 4\cdot b^{3} + 3\cdot b^{2} + 2\cdot b + 1.
Explicação didática: um número com dígitos d_6d_5\ldots d_0 em base b vale \sum_{k=0}^{6} d_k b^k. Aqui os d_k são os dígitos mostrados.

Passo 3

Sugestão do candidato a raiz quadrada: observar a simetria dos coeficientes 1,2,3,4,3,2,1. Isso sugere que a possa ser o quadrado do polinômio formado por soma das potências de b de grau 0 a 3, isto é:
\text{tentar } \qquad a = \bigl(b^{3}+b^{2}+b+1\bigr)^{2}.
Justificativa intuitiva: ao elevar ao quadrado uma soma como b^{3}+b^{2}+b+1, os coeficientes dos termos resultantes são contagens das maneiras de somar expoentes entre 0 e 3; isso produz a sequência simétrica 1,2,3,4,3,2,1.

Passo 4

Mostrar a igualdade expandindo ou justificando os coeficientes por contagem (convolução):
Ao calcular \bigl(b^{3}+b^{2}+b+1\bigr)^{2} usa-se a distributiva; cada termo é da forma b^{i}\cdot b^{j}=b^{i+j} com i,j\in\{0,1,2,3\}. Para cada expoente k entre 0 e 6, o coeficiente de b^{k} é o número de pares ordenados (i,j) tais que i+j=k. Contando esses pares:
  • Para k=0: apenas (0,0) → coeficiente 1.
  • Para k=1: (0,1),(1,0) → coeficiente 2.
  • Para k=2: (0,2),(1,1),(2,0) → coeficiente 3.
  • Para k=3: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) → coeficiente 4.
  • Para k=4: (1,3),(2,2),(3,1) → coeficiente 3.
  • Para k=5: (2,3),(3,2) → coeficiente 2.
  • Para k=6: (3,3) → coeficiente 1.
Portanto
\bigl(b^{3}+b^{2}+b+1\bigr)^{2} = b^{6}+2b^{5}+3b^{4}+4b^{3}+3b^{2}+2b+1,
que coincide exatamente com a expressão de a obtida no Passo 2.

Passo 5

Conclusão: como a é igual ao quadrado do inteiro (polinomial) b^{3}+b^{2}+b+1, segue que a é um quadrado perfeito para todo b>4.
Exemplo numérico para fixar a ideia: para b=10 obtém-se b^{3}+b^{2}+b+1=1111 e 1111^{2}=1234321, concordando com a representação decimal usual.

Resposta

\displaystyle a=\bigl(b^{3}+b^{2}+b+1\bigr)^{2}

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