Mostrar que o número
é sempre um quadrado para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número
é sempre um quadrado para todo
.
Informações dadas e condições importantes:
Informações dadas e condições importantes:
- O número escrito em base
tem dígitos, do mais significativo ao menos significativo: . - Pela definição de representação em base, isto significa que cada dígito multiplica uma potência de
. - A condição
garante que todos os dígitos são válidos (i.e. menores que ).
Passo 2
Escrever
como um polinômio em
usando a regra da base:
Explicação didática: um número com dígitos
em base
vale
. Aqui os
são os dígitos mostrados.
Passo 3
Sugestão do candidato a raiz quadrada: observar a simetria dos coeficientes
. Isso sugere que
possa ser o quadrado do polinômio formado por soma das potências de
de grau
a
, isto é:
Justificativa intuitiva: ao elevar ao quadrado uma soma como
, os coeficientes dos termos resultantes são contagens das maneiras de somar expoentes entre
e
; isso produz a sequência simétrica
.
Passo 4
Mostrar a igualdade expandindo ou justificando os coeficientes por contagem (convolução):
Ao calcular usa-se a distributiva; cada termo é da forma
com
. Para cada expoente
entre
e
, o coeficiente de
é o número de pares ordenados
tais que
. Contando esses pares:
Ao calcular
- Para
: apenas → coeficiente . - Para
: → coeficiente . - Para
: → coeficiente . - Para
: → coeficiente . - Para
: → coeficiente . - Para
: → coeficiente . - Para
: → coeficiente .
Portanto
que coincide exatamente com a expressão de
obtida no Passo 2.
Passo 5
Conclusão: como
é igual ao quadrado do inteiro (polinomial)
, segue que
é um quadrado perfeito para todo
.
Exemplo numérico para fixar a ideia: para obtém-se
e
, concordando com a representação decimal usual.
Exemplo numérico para fixar a ideia: para