Mostrar que para os números de Fibonacci, definidos no problema anterior, satisfazem
ou 2 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os números de Fibonacci definidos por
temos
Vamos usar o algoritmo de Euclides para o cálculo de máximo divisor comum e observar a paridade dos
.
Passo 2
Pelo algoritmo de Euclides,
Como
segue-se
Passo 3
É fato clássico que dois termos consecutivos de Fibonacci são primos entre si, ou seja
Então todo divisor comum de
e de
deve dividir
e também dividir
, pois não pode “vir” de
. Logo
que só pode valer
ou
.
Passo 4
Resta ver quando
divide
. Observa-se que a sequência
é periódica de período
:
Portanto
é par se, e somente se,
for múltiplo de
. Logo