Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Amostra X1, ldots, Xn i.i.d Geométrica (theta) e Priori theta sim Beta(alpha, beta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, ao observar uma amostra X1,dots,Xn i.i.d. de uma Geométrica com parâmetro theta e assumir como priori thetasimBeta(alpha,beta), a distribuição a posteriori de theta também é uma Beta (isto é, a familia Beta é conjugada à Geométrica). O conteúdo é inferência Bayesiana com priors conjugados.

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança do parâmetro theta. Para a Geométrica no suporte 0,1,2,dots com
P(Xi = xi mid theta) = (1-theta)^xi,theta,
pela independência temos
L(theta; x) = prodi=1^n P(Xi = xi mid theta) = prodi=1^n l((1-theta)^xi,thetar) = theta^n,(1-theta)^sumi=1^n xi,

Passo 3

A priori é
pi(theta) = Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha),Gamma(beta) ;theta^alpha-1,(1-theta)^beta-1, 0<theta<1

Passo 4

A posteriori satisfaz
pi(thetamid x) ;propto; L(theta; x),pi(theta) =theta^n,(1-theta)^sum xi ;times; theta^alpha-1,(1-theta)^beta-1 =theta^(alpha-1)+n,(1-theta)^(beta-1)+sum xi
Isso é o núcleo de uma Beta com parâmetros atualizados
alpha'=alpha+n, beta'=beta+sumi=1^n xi

Resposta

A distribuição a posteriori é
thetamid X1,dots,Xn;sim;Betal(alpha+n,;beta+sumi=1^n xir),
mostrando que a Beta é conjugada à Geométrica.

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