Considere a tabela de dados de funcionários de uma empresa.
Funcionário
Rendimento
(em salários mínimos)
idade anos de estudo
1 2 22 13
2 2,5 23 14
3 3,5 27 18
4 2,8 23 15
5 4 28 20
a) Escreva a equação de um modelo de regressão linear múltiplo considerando a variável rendimento como a variável resposta em função das duas outras variáveis explicativas.
b) Escreva a matriz X desse modelo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para a gente trabalhar com regressão linear múltipla, onde queremos prever o rendimento dos funcionários com base na idade e nos anos de estudo. Então, vamos precisar entender como montar a equação dessa regressão e depois construir a matriz X que representa as variáveis explicativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma regressão linear múltipla. É um método que usamos para prever o valor de uma variável resposta (no caso, o rendimento) com base em duas ou mais variáveis explicativas (idade e anos de estudo). A equação geral fica assim:
y = beta0 + beta1 x1 + beta2 x2 + varepsilon
Aqui:
  • y é o rendimento.
  • beta0 é o intercepto (valor de y quando todas as x são zero).
  • beta1 e beta2 são os coeficientes das variáveis idade ( x1 ) e anos de estudo ( x2 ), respectivamente.
  • varepsilon é o erro.

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso caso, a variável resposta y é o rendimento, e as variáveis explicativas são idade ( x1 ) e anos de estudo ( x2 ). Então, substituindo na equação geral, temos:
Rendimento = beta0 + beta1 times Idade + beta2 times Anos de Estudo + varepsilon

Passo 4

Vamos para a segunda parte do exercício, que pede para escrever a matriz X do modelo. A matriz X é chamada de matriz de design e ela inclui todas as variáveis explicativas, mais uma coluna de 1s que representa o intercepto beta0 .

Passo 5

Observando nossos dados, temos 5 funcionários, então nossa matriz X vai ter 5 linhas (uma para cada funcionário) e 3 colunas:
  1. A coluna de 1s para o intercepto.
  2. A coluna com as idades.
  3. A coluna com os anos de estudo.

Passo 6

Vamos montar a matriz X com base nos dados fornecidos:
X = 1 & 22 & 13 1 & 23 & 14 1 & 27 & 18 1 & 23 & 15 1 & 28 & 20

Resposta

a) A equação do modelo de regressão linear múltiplo é:
Rendimento = beta0 + beta1 times Idade + beta2 times Anos de Estudo + varepsilon
b) A matriz X do modelo é:
X = 1 & 22 & 13 1 & 23 & 14 1 & 27 & 18 1 & 23 & 15 1 & 28 & 20

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