Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Amostra
i.i.d
,com
conhecido e Priori
Amostra
Passo 1
O enunciado diz que
são i.i.d. com distribuição
, em que
(shape) é conhecido e
é o parâmetro de rate (taxa) desconhecido. A priori temos
onde
é o shape e
é o rate da priori. Queremos mostrar que a distribuição a posteriori de
também é uma Gama (conjugação), ou seja, encontrar os parâmetros atualizados.
Passo 2
Escrevemos a função de verossimilhança de
dado a amostra
. Como
temos
onde omitimos constantes que não dependem de
.
Passo 3
A densidade da priori é
Pela regra de Bayes,
Passo 4
Reconhecemos nessa expressão o kernel de uma distribuição Gama de shape
e rate
. Logo a posteriori é
mostrando que a família Gama é conjugada para o parâmetro de rate de uma Gama conhecida em shape.