Mostrar que ocorre a conjugação nos casos:
Amostra X1, ldots, Xn i.i.d Gama(k, theta),com k conhecido e Priori theta sim Gama(a, b)

Passo 1

O enunciado diz que X1,dots,Xn são i.i.d. com distribuição Gama(k,theta), em que k (shape) é conhecido e theta é o parâmetro de rate (taxa) desconhecido. A priori temos
thetasimGama(a,b),
onde a é o shape e b é o rate da priori. Queremos mostrar que a distribuição a posteriori de theta também é uma Gama (conjugação), ou seja, encontrar os parâmetros atualizados.

Passo 2

Escrevemos a função de verossimilhança de theta dado a amostra x=(x1,dots,xn). Como
f(ximidtheta) =theta^,kGamma(k),xi^,k-1e^-theta xi,
temos
L(theta; x) =prodi=1^nf(ximidtheta) propto l(theta^,kr)^n e^-thetasumi=1^nxi = theta^,n k,e^-thetasumi=1^nxi,,
onde omitimos constantes que não dependem de theta.

Passo 3

A densidade da priori é
pi(theta) propto theta^,a-1e^-btheta,
Pela regra de Bayes,
pi(thetamid x) propto L(theta; x),pi(theta) propto theta^,n k,e^-thetasum xi ;times; theta^,a-1e^-btheta = theta^, (a-1)+n k, e^-theta,(b+sumi=1^n xi)

Passo 4

Reconhecemos nessa expressão o kernel de uma distribuição Gama de shape a+n k e rate b+sumi=1^n xi. Logo a posteriori é
thetamid x sim Gamal(a+n k,;b+sumi=1^n xir),
mostrando que a família Gama é conjugada para o parâmetro de rate de uma Gama conhecida em shape.

Resposta

thetamid X1,dots,Xn sim Gamal(a+n k,;b+sumi=1^n xir)

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