A Receita Federal avalia as declarações de imposto de renda quanto à ocorrência de fraudes. Sabese que 8 % das declarações apresentam deduções acima de um determinado limite estipulado. Dessas declarações acima do limite, 20% são fraudulentas. Já entre as declarações que não ultrapassam esse limite, apenas 2 % são fraudulentas. Com base nessas informações, responda:
a) Qual é a probabilidade de que uma declaração, escolhida aleatoriamente, seja fraudulenta? R=0,0344
b) Sabendo que uma declaração escolhida aleatoriamente é fraudulenta, qual é a probabilidade de que ela apresente deduções acima do limite estipulado?
R=0,465

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações sobre uma declaração de imposto de renda:
P(A)=0,08 é a probabilidade de apresentar deduções acima do limite (evento A).
P(fraudemid A)=0,20.
P(fraudemid overline A)=0,02, onde overline A é o evento de não ultrapassar o limite.
Precisamos calcular:
(a) P(fraude) usando o Teorema da Probabilidade Total.
(b) P(Amid fraude) usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Pela Probabilidade Total:
P(fraude) = P(A),P(fraudemid A) + P(overline A),P(fraudemid overline A)
Substituindo os valores:
P(fraude) = 0,08 cdot 0,20 + 0,92 cdot 0,02 = 0,016 + 0,0184 = 0,0344

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes:
P(Amid fraude) = P(fraudemid A),P(A)P(fraude) = 0,20 cdot 0,080,0344 = 0,0160,0344 approx 0,465

Resposta

(a) P(fraude) = 0,0344
(b) P(demonstrações com deduções acima do limitemid fraude) = 0,465çõçõ

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