Aplicar o Teorema 1 (Conjugação no modelo normal) e calcular as probabilidades a posteriori para os seguintes casos:
Seja X sim N(theta ; 2). Considere que uma a. a. de X com n=30 resultou em sumi=1^30 xi=350. Calcular a probabilidade a posteriori P[11,5<(theta mid X)<12], considerando a distribuição a priori para theta, dada por theta sim N(10 ; 0,64).

Passo 1

O enunciado pede para usar a conjugação no modelo normal: temos uma amostra de tamanho n=30 de Xi i.i.d. com Xisim N(theta,2) e sumi=1^30xi=350. A priori, thetasim N(10,0,64). Queremos calcular P(11,5<theta<12mid X).

Passo 2

Primeiro encontramos a distribuição a posteriori de theta. Denotando a variância do modelo por sigma^2=2 e da priori por tau0^2=0,64, temos:

Passo 3

bar x=35030approx11,667,nsigma^2=302=15,1tau0^2=10,64=1,5625

Passo 4

Usando a fórmula da média e variância posteriores:

Passo 5

mun=(n/sigma^2),bar x+(1/tau0^2),mu0(n/sigma^2)+(1/tau0^2)=15times11,667+1,5625times1015+1,5625approx11,5094,

Passo 6

taun^2=1(n/sigma^2)+(1/tau0^2)=115+1,5625approx0,06036,taunapprox0,2457

Passo 7

Agora padronizamos o intervalo 11,5<theta<12 sob thetamid Xsim N(mun,taun^2):

Passo 8

zL=11,5-11,50940,2457approx-0,0382, zU=12-11,50940,2457approx1,9976

Passo 9

Então

Passo 10

P(11,5<theta<12mid X)=Phi(1,9976)-Phi(-0,0382)approx0,9772-0,4848approx0,4924

Resposta

0,4924

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