Mostrar que o operador linear do R^3 T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) é inversível e determinar o isomorfismo inverso.
13. (Sel. Mestrado UFSM 2017/1) Seja P5 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 5, com coeficientes em R. Se T: P5 P5 é definida por
T(p(x))=3 p^prime(x)+5 p(x), forall p(x) in P5
então mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

Primeiro problema: temos o espaço R^3 com a base canônica e o operador linear
T(x,y,z) = (x - 3y - 2z,; y - 4z,; z)
Queremos mostrar que T é invertível e encontrar T^-1.

Passo 2

Em coordenadas canônicas, a matriz de T é triangular superior
A = 1 & -3 & -2 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1
Como det(A)=1ne0, concluímos que T é invertível.

Passo 3

Para achar T^-1, dado (x,y,z) queremos (u,v,w) tal que
T(u,v,w) = (,u - 3v - 2w,;v - 4w,;w) = (x,y,z)
Da terceira componente vem w=z.
Da segunda, v - 4z = y Rightarrow v = y + 4z.
Da primeira, u - 3v - 2z = x Rightarrow
u = x + 3v + 2z = x + 3(y+4z) + 2z = x + 3y + 14z
Logo
T^-1(x,y,z) = l(x + 3y + 14z,;y + 4z,;zr)

Passo 4

Segundo problema: seja P5 o espaço dos polinômios de grau <=5 e
Tl(p(x)r) = 3,p'(x) + 5,p(x)
Queremos mostrar que T é um isomorfismo (ou seja, bijetivo).

Passo 5

Se T(p)=0 então
3,p'(x) + 5,p(x) = 0
é uma EDO linear cuja solução geral é
p(x) = C e^-5x/3
Mas p(x) é polinômio Rightarrow para ser da forma C e^-5x/3 só pode ocorrer C=0.
Logo ker T = 0, ou seja, T é injetora.

Passo 6

Como dim P5 = 6 e T é injetora num espaço de mesma dimensão, T é também sobrejetora.
Portanto T é bijetiva e, por ser linear, é um isomorfismo de P5 em si.

Resposta

Para :
Para : o operador tem e , logo é um isomorfismo.

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