Seja W=a+b t+c t^2 in mathscrP2(R) mid b=0. Defina em W as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Verifique que W é um subespaço vetorial de mathscrP2(R).

Passo 1

O enunciado define
W=l,a+b,t+c,t^2inmathscrP2(R)mid b=0r
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em mathscrP2(R).
O objetivo é mostrar que W satisfaz as três condições para ser subespaço vetorial:
  1. Wneqvarnothing (contém o vetor zero)
  2. fechado sob soma
  3. fechado sob multiplicação por escalar

Passo 2

Verificar que o polinômio zero está em W.
O polinômio zero é
0(t)=0+0,t+0,t^2,
e aqui o coeficiente de t é 0. Logo 0(t)in W, ou seja, Wneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Tomemos
p(t)=a1+0,t+c1,t^2in W e q(t)=a2+0,t+c2,t^2in W
Então
p(t)+q(t)=(a1+a2)+0,t+(c1+c2),t^2
O coeficiente de t continua sendo 0, logo p+qin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Sejam lambdainR e
p(t)=a+0,t+c,t^2in W
Então
lambda,p(t)=lambda a+0,t+(lambda c),t^2,
onde de novo o coeficiente de t é 0. Assim lambda pin W.

Resposta

Portanto, W é não‐vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, W é um subespaço vetorial de mathscrP2(R).

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