Seja
. Defina em
as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Verifique que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em .
O objetivo é mostrar que satisfaz as três condições para ser subespaço vetorial:
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em
O objetivo é mostrar que
-
(contém o vetor zero) - fechado sob soma
- fechado sob multiplicação por escalar
Passo 2
Verificar que o polinômio zero está em
.
O polinômio zero é
O polinômio zero é
e aqui o coeficiente de
é
. Logo
, ou seja,
.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Tomemos
Tomemos
Então
O coeficiente de
continua sendo
, logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar.
Sejam e
Sejam
Então
onde de novo o coeficiente de
é
. Assim
.
Resposta
Portanto,
é não‐vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, ou seja,
é um subespaço vetorial de
.