Seja
. Defina em
as operações usuais de adição de funções e de multiplicação de função por escalar. Verifique que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
isto é, o conjunto das funções contínuas que se anulam em
. Queremos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, basta verificar três propriedades:
.
é não-vazio (existe o vetor zero).
.
é fechado sob adição.
.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o elemento zero de
pertence a
. Defina a função zero por
Claramente
é contínua e
logo
. Assim,
.
Passo 3
Verificamos a clausura de
sob adição. Sejam
. Então
e
são contínuas e
A soma
é contínua (soma de contínuas) e
Logo
.
Passo 4
Verificamos a clausura de
sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
é contínua (produto de contínua por escalar) e
Portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, segue que
é um subespaço vetorial de
.