Seja W=f in mathscrC(R, R) mid f(0)=0. Defina em W as operações usuais de adição de funções e de multiplicação de função por escalar. Verifique que W é um subespaço vetorial de mathscrC(R, R).

Passo 1

O enunciado define
W = ,fin mathscrC(R,R) mid f(0)=0,
isto é, o conjunto das funções contínuas que se anulam em 0. Queremos mostrar que W é um subespaço vetorial de mathscrC(R,R). Para isso, basta verificar três propriedades:
1. W é não-vazio (existe o vetor zero).
2. W é fechado sob adição.
3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o elemento zero de mathscrC(R,R) pertence a W. Defina a função zero por
0!f(x)=0forall xinR
Claramente 0!f é contínua e
0!f(0)=0,
logo 0!fin W. Assim, Wneqvarnothing.

Passo 3

Verificamos a clausura de W sob adição. Sejam f,gin W. Então f e g são contínuas e
f(0)=0, g(0)=0
A soma f+g é contínua (soma de contínuas) e
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0
Logo f+gin W.

Passo 4

Verificamos a clausura de W sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin W. Então alpha f é contínua (produto de contínua por escalar) e
(alpha f)(0)=alphacdot f(0)=alphacdot 0=0
Portanto alpha fin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, segue que W é um subespaço vetorial de mathscrC(R,R).

Resposta

W é um subespaço vetorial de mathscrC(R,R).

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