Seja definida por e e . Determinar uma base de cada um dos seguintes subespaços vetoriais: e .
12. Mostrar que o operador linear do é inversível e determinar o isomorfismo inverso.
Passo 1
No primeiro polo temos definida pelos valores em base canônica:
O conteúdo aqui é descobrir , , sua interseção e sua soma, usando linearidade e solução de sistemas lineares.
Passo 2
Pela linearidade, para
Passo 3
Para achar resolvemos
Logo
Passo 4
Para basta ver os vetores geradores
pois . Assim
Passo 5
A interseção ker(T)capIm(T) contém vetores que são simultaneamente múltiplos de (-1,1,-1) e combinações de (1,1,0) e (0,0,2). Se
(a,a,2b)=(-y,y,-y)
então a=-y e a=y forçam y=0. Logo só o vetor zero pertence, e
ker(T)capIm(T)=0
Passo 6
Como dimker(T)=1, dimIm(T)=2 e a interseção é trivial, pela fórmula de Grassmann dim(ker(T)+Im(T))=1+2-0=3. Então
ker(T)+Im(T)=R^3,
e uma base pode ser, por exemplo, (1,1,0),,(0,0,2),,(-1,1,-1).
Passo 7
No segundo item o operador é
T(x,y,z)=(,x-3y-2z,;y-4z,;z)
Para ver que é inversível e achar a inversa, escrevemos
Da última linha vem z=w. Da segunda, y=v+4w. Da primeira,
x=u+3y+2z =u+3(v+4w)+2w =u+3v+14w
Logo o inverso é
T^-1(u,v,w)=(,u+3v+14w,;v+4w,;w)
Resposta
Base de ker(T): (-1,1,-1)
Base de Im(T): (1,1,0),,(0,0,2)
Base de ker(T)capIm(T): emptyset (apenas o vetor zero)
Base de ker(T)+Im(T): (1,1,0),,(0,0,2),,(-1,1,-1)
O operador T(x,y,z)=(x-3y-2z,;y-4z,;z)
é inversível e