Seja T: R^3 R^3 definida por T(1,0,0)=(1,1,0) e T(0,0,1)=(0,0,2) e T(0,1,0)=(1,1,2). Determinar uma base de cada um dos seguintes subespaços vetoriais: ker(T), Im(T), ker(T) cap Im(T) e ker(T)+Im(T).
12. Mostrar que o operador linear do R^3 T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) é inversível e determinar o isomorfismo inverso.

Passo 1

No primeiro polo temos T:R^3toR^3 definida pelos valores em base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,1,2), T(0,0,1)=(0,0,2)
O conteúdo aqui é descobrir ker(T), Im(T), sua interseção e sua soma, usando linearidade e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Pela linearidade, para (x,y,z)inR^3
T(x,y,z) = x,T(1,0,0)+y,T(0,1,0)+z,T(0,0,1) =(x+y,;x+y,;2y+2z) =(x+y,;x+y,;2(y+z))

Passo 3

Para achar resolvemos
Logo

Passo 4

Para basta ver os vetores geradores
pois . Assim

Passo 5

A interseção ker(T)capIm(T) contém vetores que são simultaneamente múltiplos de (-1,1,-1) e combinações de (1,1,0) e (0,0,2). Se
(a,a,2b)=(-y,y,-y)
então a=-y e a=y forçam y=0. Logo só o vetor zero pertence, e
ker(T)capIm(T)=0

Passo 6

Como dimker(T)=1, dimIm(T)=2 e a interseção é trivial, pela fórmula de Grassmann
dim(ker(T)+Im(T))=1+2-0=3. Então
ker(T)+Im(T)=R^3,
e uma base pode ser, por exemplo,
(1,1,0),,(0,0,2),,(-1,1,-1).

Passo 7

No segundo item o operador é
T(x,y,z)=(,x-3y-2z,;y-4z,;z)
Para ver que é inversível e achar a inversa, escrevemos
(u,v,w)=T(x,y,z) Long<=ftrightarrow u=x-3y-2z, v=y-4z, w=z

Passo 8

Da última linha vem z=w. Da segunda, y=v+4w. Da primeira,
x=u+3y+2z =u+3(v+4w)+2w =u+3v+14w
Logo o inverso é
T^-1(u,v,w)=(,u+3v+14w,;v+4w,;w)

Resposta

Base de ker(T): (-1,1,-1)
Base de Im(T): (1,1,0),,(0,0,2)
Base de ker(T)capIm(T): emptyset (apenas o vetor zero)
Base de ker(T)+Im(T): (1,1,0),,(0,0,2),,(-1,1,-1)
O operador
T(x,y,z)=(x-3y-2z,;y-4z,;z)
é inversível e
T^-1(u,v,w)=(u+3v+14w,;v+4w,;w)

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