Mostrar que nos platôs do efeito Hall Quântico Inteiro a resistência transversal pode ser escrita como
com
igual ao quantum de fluxo magnético. Considere uma amostra bidimensional e explique em que condições o efeito se manifesta. Calcule o valor da constante
no Sistema Internacional de unidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar uma relação importante no efeito Hall Quântico Inteiro, que conecta a resistência transversal $ R_H $ com algumas constantes físicas. A gente vai precisar entender conceitos de resistência elétrica, quantização de níveis de energia em um campo magnético, e trabalhar com fórmulas físicas básicas. Além disso, vamos calcular o valor da constante $ h/e^2 $ no Sistema Internacional de unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o efeito Hall Quântico Inteiro. Esse efeito ocorre em materiais bidimensionais (como certas camadas de semicondutores) quando submetidos a campos magnéticos muito fortes e temperaturas baixíssimas. Nessas condições, a resistência transversal (ou resistência de Hall) mostra-se quantizada, ou seja, só assume certos valores específicos.
Passo 3
A resistência de Hall $ R_H $ é definida pela relação:
onde $ V_y $ é a voltagem medida na direção perpendicular à corrente $ I_x $. No efeito Hall clássico, essa resistência está relacionada com o campo magnético $ B $, a densidade de portadores $ n $, a carga do elétron $ e $ e a velocidade da luz $ c $, mas no efeito quântico ela se quantiza.
Passo 4
No efeito Hall Quântico Inteiro, a resistência de Hall pode ser expressa pela fórmula:
Aqui, $ \nu $ é o índice de preenchimento dos níveis de Landau (ou seja, quantos níveis estão preenchidos com elétrons), $ h $ é a constante de Planck, e $ e $ é a carga elementar do elétron.
Passo 5
A quantização ocorre devido à formação de níveis de energia discretos chamados níveis de Landau quando um material bidimensional é submetido a um campo magnético perpendicular. Cada nível de Landau pode ser ocupado por um número finito de elétrons, e quando um nível está completamente preenchido, observamos um platô na resistência de Hall.
Passo 6
Sabendo que o fluxo magnético quântico $ \phi_0 $ é dado por:
e relacionando isso com a resistência de Hall quantizada, chegamos à expressão:
Isso mostra que a resistência transversal é inversamente proporcional ao índice de preenchimento $ \nu $ e diretamente proporcional à constante $ h/e^2 $.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da constante $ h/e^2 $ no Sistema Internacional de unidades.
Sabemos que:
- $ h = 6.626 \times 10^{-34} $ J·s
- $ e = 1.602 \times 10^{-19} $ C
Calculando $ h/e^2 $:
Resposta
Portanto, a resistência transversal no efeito Hall Quântico Inteiro pode ser expressa como $ R_H = \frac{1}{\nu} \frac{h}{e^{2}} $, e o valor da constante $ h/e^{2} $ no Sistema Internacional de unidades é aproximadamente $ 2.58 \times 10^{4} , \Omega $.