Resolva a equação
para o caso de um campo elétrico harmônico com frequência
Passo 1
Então, temos um exercício que envolve resolver uma equação diferencial para a velocidade média
de uma partícula carregada sob a influência de um campo elétrico harmônico. O conteúdo principal aqui é a mecânica clássica aplicada a partículas carregadas em campos elétricos oscilantes. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender como campos elétricos harmônicos influenciam o movimento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução:
Aqui,
representa a derivada da velocidade média em relação ao tempo,
é a carga da partícula,
é a massa,
é o campo elétrico, e
é o tempo de relaxamento.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico é harmônico e dado por:
Onde
é a amplitude do campo e
é a frequência angular.
Passo 4
Vamos assumir que a solução para a velocidade média também tem a forma de um campo harmônico, ou seja:
Aqui,
é a amplitude da velocidade média que precisamos encontrar.
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
em relação ao tempo:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Passo 7
Como
é comum em todos os termos, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Vamos isolar
nos termos que a contêm:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador por
(o conjugado do denominador):
Sabemos que
, então:
Resposta
A velocidade média
é dada por:
Ou, simplificando: