Resolva a equação
lang<=dotvrang<==-em E-1taulang<=vrang<=
para o caso de um campo elétrico harmônico com frequência omega
E=E0 e^i omega t

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve resolver uma equação diferencial para a velocidade média lang<= v rang<= de uma partícula carregada sob a influência de um campo elétrico harmônico. O conteúdo principal aqui é a mecânica clássica aplicada a partículas carregadas em campos elétricos oscilantes. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender como campos elétricos harmônicos influenciam o movimento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução:
lang<= dotv rang<= = -em E - 1tau lang<= v rang<=
Aqui, lang<= dotv rang<= representa a derivada da velocidade média em relação ao tempo, e é a carga da partícula, m é a massa, E é o campo elétrico, e tau é o tempo de relaxamento.

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico é harmônico e dado por:
E = E0 e^i omega t
Onde E0 é a amplitude do campo e omega é a frequência angular.

Passo 4

Vamos assumir que a solução para a velocidade média também tem a forma de um campo harmônico, ou seja:
lang<= v rang<= = v0 e^i omega t
Aqui, v0 é a amplitude da velocidade média que precisamos encontrar.

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de lang<= v rang<= em relação ao tempo:
lang<= dotv rang<= = ddt ( v0 e^i omega t ) = i omega v0 e^i omega t

Passo 6

Substituímos lang<= dotv rang<= e E na equação original:
i omega v0 e^i omega t = -em E0 e^i omega t - 1tau v0 e^i omega t

Passo 7

Como e^i omega t é comum em todos os termos, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por e^i omega t:
i omega v0 = -em E0 - 1tau v0

Passo 8

Vamos isolar v0 nos termos que a contêm:
( i omega + 1tau ) v0 = -em E0

Passo 9

Resolvendo para v0:
v0 = -em E0i omega + 1tau

Passo 10

Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador por i omega - 1tau (o conjugado do denominador):
v0 = -em E0 i omega - 1tau(i omega)^2 - (1tau)^2
Sabemos que i^2 = -1, então:
v0 = -em E0 i omega - 1tau-omega^2 - 1tau^2

Resposta

A velocidade média lang<= v rang<= é dada por:
lang<= v rang<= = v0 e^i omega t = -em E0i omega + 1tau e^i omega t
Ou, simplificando:
lang<= v rang<= = -e taum E01 + i omega tau e^i omega t

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