mostre que a constante dielétrica (permissividade) epsilon(omega) dos metais pode ser escrita como
epsilon(omega)=1-omegap^2omega(omega+i gamma)
onde omegap é a frequência de plasma e gamma=1 / tau.

Passo 1

Beleza, vamos trabalhar com um exercício sobre a constante dielétrica (ou permissividade) dos metais. O objetivo é mostrar que ela pode ser escrita como:
epsilon(omega) = 1 - omegap^2omega(omega + i gamma)
Aqui, omegap é a frequência de plasma e gamma é definido como gamma = 1tau, onde tau é o tempo de relaxamento dos elétrons no metal. Para resolver isso, vamos usar o Modelo de Drude, que é uma teoria que explica como os elétrons se comportam em metais e como isso afeta suas propriedades elétricas e ópticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Modelo de Drude, os elétrons livres no metal são tratados como um gás de partículas que respondem a campos elétricos externos. A constante dielétrica epsilon(omega) descreve como o material responde a um campo elétrico alternado de frequência omega.
A fórmula geral da constante dielétrica segundo o Modelo de Drude é:
epsilon(omega) = 1 - omegap^2omega^2 + i omega gamma
Aqui, omegap é a frequência de plasma, que depende da densidade de elétrons livres no metal e sua massa, e gamma representa a taxa de dissipação, relacionada à resistência elétrica.

Passo 3

Nosso objetivo é reescrever essa expressão de forma que o denominador seja omega(omega + i gamma) em vez de omega^2 + i omega gamma. Vamos focar no denominador da fração:
omega^2 + i omega gamma = omega(omega + i gamma)
Perceba que fatoramos omega do denominador, simplificando a expressão.

Passo 4

Substituindo essa fatoração de volta na fórmula da constante dielétrica, temos:
epsilon(omega) = 1 - omegap^2omega(omega + i gamma)
Pronto! Conseguimos reescrever a constante dielétrica na forma desejada.

Resposta

Assim, mostramos que a constante dielétrica dos metais pode ser escrita como:
epsilon(omega) = 1 - omegap^2omega(omega + i gamma)

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