mostre que a constante dielétrica (permissividade)
dos metais pode ser escrita como
onde
é a frequência de plasma e
.
Passo 1
Beleza, vamos trabalhar com um exercício sobre a constante dielétrica (ou permissividade) dos metais. O objetivo é mostrar que ela pode ser escrita como:
Aqui,
é a frequência de plasma e
é definido como
, onde
é o tempo de relaxamento dos elétrons no metal. Para resolver isso, vamos usar o Modelo de Drude, que é uma teoria que explica como os elétrons se comportam em metais e como isso afeta suas propriedades elétricas e ópticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no Modelo de Drude, os elétrons livres no metal são tratados como um gás de partículas que respondem a campos elétricos externos. A constante dielétrica
descreve como o material responde a um campo elétrico alternado de frequência
.
A fórmula geral da constante dielétrica segundo o Modelo de Drude é:
Aqui,
é a frequência de plasma, que depende da densidade de elétrons livres no metal e sua massa, e
representa a taxa de dissipação, relacionada à resistência elétrica.
Passo 3
Nosso objetivo é reescrever essa expressão de forma que o denominador seja
em vez de
. Vamos focar no denominador da fração:
Perceba que fatoramos
do denominador, simplificando a expressão.
Passo 4
Substituindo essa fatoração de volta na fórmula da constante dielétrica, temos:
Pronto! Conseguimos reescrever a constante dielétrica na forma desejada.
Resposta
Assim, mostramos que a constante dielétrica dos metais pode ser escrita como: