Mostrar que os seguintes tensores são isotrópicos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o tensor de segunda ordem
é isotrópico, isto é, que suas componentes não se alteram sob qualquer rotação ortogonal. Vamos usar a definição de transformação de componentes de um tensor de segunda ordem.
Passo 2
Seja
uma matriz de rotação ortogonal, satisfazendo
As componentes do tensor transformado
são dadas por
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Passo 4
Usando a propriedade
para contrair índices iguais, vemos que
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Passo 5
Como
é ortogonal, vale
Portanto
Resposta
O tensor
é invariante sob rotações ortogonais e, portanto, é um tensor isotrópico.