Mostrar que os seguintes tensores são isotrópicos:
\alpha \delta_{i j}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o tensor de segunda ordem
T_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}
é isotrópico, isto é, que suas componentes não se alteram sob qualquer rotação ortogonal. Vamos usar a definição de transformação de componentes de um tensor de segunda ordem.

Passo 2

Seja Q_{ip} uma matriz de rotação ortogonal, satisfazendo
Q_{ip}\,Q_{jp} = \delta_{ij}.
As componentes do tensor transformado T'_{ij} são dadas por
T'_{ij} = Q_{ip}\,Q_{jq}\,T_{pq}.

Passo 3

Substituindo T_{pq} = \alpha\,\delta_{pq} na expressão de T'_{ij}, obtemos
T'_{ij} = Q_{ip}\,Q_{jq}\,\bigl(\alpha\,\delta_{pq}\bigr) = \alpha\;Q_{ip}\,Q_{jq}\,\delta_{pq}.

Passo 4

Usando a propriedade \delta_{pq} para contrair índices iguais, vemos que
Q_{ip}\,Q_{jq}\,\delta_{pq} = Q_{ip}\,Q_{jp}.
Logo
T'_{ij} = \alpha\,Q_{ip}\,Q_{jp}.

Passo 5

Como Q é ortogonal, vale
Q_{ip}\,Q_{jp} = \delta_{ij}.
Portanto
T'_{ij} = \alpha\,\delta_{ij} = T_{ij}.

Resposta

O tensor T_{ij} = \alpha\,\delta_{ij} é invariante sob rotações ortogonais e, portanto, é um tensor isotrópico.

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