Transcrever as expressões abaixo da notação simbólica para a notação cartesiana indicial. Onde \boldsymbol{f} é um vetor, \boldsymbol{\sigma} e \boldsymbol{e} são tensores de segunda ordem e \boldsymbol{C} um tensor de quarta ordem.
\boldsymbol{U}=\frac{1}{2} \boldsymbol{e}: \boldsymbol{C}: \boldsymbol{e}

Passo 1

O enunciado pede para expressar em notação cartesiana indicial a quantidade
\boldsymbol{U} = \tfrac12\,\boldsymbol{e} : \boldsymbol{C} : \boldsymbol{e},
onde \boldsymbol{e} é um tensor de segunda ordem, \boldsymbol{C} é um tensor de quarta ordem e o símbolo “ :” indica dupla contração (Einstein summation). Vamos usar a convenção de soma sobre índices repetidos.

Passo 2

Recordando que, em notação indicial, a contração dupla de dois tensores de segunda ordem \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} é
\boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} = A_{ij}\,B_{ij},
com soma sobre i e j. Analogamente, ao contra­tar \boldsymbol{e} com \boldsymbol{C}, obtemos um tensor de segunda ordem cujos componentes são
(\boldsymbol{e}:\boldsymbol{C})_{kl} = e_{ij}\,C_{ijkl}.

Passo 3

Agora, a expressão escalar completa
\boldsymbol{U} = \tfrac12\,(\boldsymbol{e} : \boldsymbol{C}) : \boldsymbol{e}
significa uma nova contração dupla entre o tensor (\boldsymbol{e}:\boldsymbol{C}) e \boldsymbol{e}. Portanto,
\boldsymbol{U} = \tfrac12\;(\boldsymbol{e}:\boldsymbol{C})_{kl}\;e_{kl} = \tfrac12\;e_{ij}\,C_{ijkl}\;e_{kl}.

Resposta

U = \frac12\,e_{ij}\,C_{ijkl}\,e_{kl}.

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