e pede para mostrarmos que T é injetora, mas que não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais: verificação da linearidade, cálculo do núcleo (para injeção) e argumento de dimensão (para não ser isomorfismo).
Passo 2
Verificamos que T é linear porque cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Explicitamente, para quaisquer (x_{1},y_{1},z_{1}), (x_{2},y_{2},z_{2}) e escalar \lambda,
Para achar o núcleo de T\), resolvemos
\[T(x,y,z)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ x - y = 0,\\\ y - z = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
Da primeira equação x=0\]. Da segunda, \(0 - y=0 implica y=0. Da terceira, 0 - z=0 implica z=0. Logo o único vetor do núcleo é (0,0,0), ou seja
\ker T=\{(0,0,0)\}.
Passo 4
Como \ker T=\{0\}, pelo Teorema do Núcleo e Imagem uma transformação linear com núcleo trivial é injetora. Concluímos que T é injetora.
Passo 5
Para ser um isomorfismo entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4, T precisaria ser sobrejetora. Mas a dimensão do domínio é 3 e a do contradomínio é 4. Qualquer mapa linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4 tem posto (dimensão da imagem) no máximo 3, logo não pode preencher todo \mathbb{R}^4. Assim T não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.
Resposta
T é injetora, mas não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}.