Mostrar que T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z)
é injetora mas não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z)=(x,\;x-y,\;y-z,\;z)
e pede para mostrarmos que T é injetora, mas que não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais: verificação da linearidade, cálculo do núcleo (para injeção) e argumento de dimensão (para não ser isomorfismo).

Passo 2

Verificamos que T é linear porque cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Explicitamente, para quaisquer (x_{1},y_{1},z_{1}), (x_{2},y_{2},z_{2}) e escalar \lambda,
T((x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})) = T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}) =(x_{1}+x_{2},\dots,z_{1}+z_{2})
que é igual a
T(x_{1},y_{1},z_{1})+T(x_{2},y_{2},z_{2}),
e
T(\lambda(x,y,z))=T(\lambda x,\lambda y,\lambda z) =(\lambda x,\dots,\lambda z) =\lambda\,T(x,y,z).
Portanto T é uma transformação linear.

Passo 3

Para achar o núcleo de T\), resolvemos \[T(x,y,z)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ x - y = 0,\\\ y - z = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
Da primeira equação x=0\]. Da segunda, \(0 - y=0 implica y=0. Da terceira, 0 - z=0 implica z=0. Logo o único vetor do núcleo é (0,0,0), ou seja
\ker T=\{(0,0,0)\}.

Passo 4

Como \ker T=\{0\}, pelo Teorema do Núcleo e Imagem uma transformação linear com núcleo trivial é injetora. Concluímos que T é injetora.

Passo 5

Para ser um isomorfismo entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4, T precisaria ser sobrejetora. Mas a dimensão do domínio é 3 e a do contradomínio é 4. Qualquer mapa linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4 tem posto (dimensão da imagem) no máximo 3, logo não pode preencher todo \mathbb{R}^4. Assim T não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

Resposta

T é injetora, mas não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}.

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