(1,5 ponto) Considerando a matriz A e o vetor \mathbf{v} abaixo, calcule o ângulo formado entre o vetor ve o vetor \mathbf{u}=A \mathbf{v}. A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \text { e } \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] Passo 1O enunciado pede o ângulo entre o vetor \mathbf{v} e o vetor \mathbf{u}=A\mathbf{v}. O conteúdo é multiplicação de matriz por vetor para obter \mathbf{u} e depois cálculo do ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^3 via produto escalar: \cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{u}\|}. Passo 2Vamos calcular \mathbf{u}=A\mathbf{v} por multiplicação da matriz A pelo vetor \mathbf{v}: A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Então \mathbf{u} = A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot0\\\\ 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0\\\\ 0\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Passo 3Agora calculamos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} e as normas: \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} = (0)(-1) + (1)(0) + (0)(0) = 0, \|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1, \quad \|\mathbf{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1. Passo 4Usando a fórmula do cosseno do ângulo, \cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{u}\|} = \frac{0}{1\cdot1} = 0. Logo \theta = \operatorname{arccos}(0) = 90^\circ. RespostaO ângulo formado entre \mathbf{v} e \mathbf{u} é 90^\circ. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAs seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. (d) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right). Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial U (isto é, um subespaço vetorial W, do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), tal que V=U \oplus W). Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), V \doteq M_{2 \times 1}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{X \in M_{2 \times 1}(\mathbb{R}) ; A X=0\right\}. Mostrar que T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z) é injetora mas não é isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}. Responda: (a) Qual é a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1)=(3,2,1) e T(0,-2)= (0,1,0) ? (b) Encontre T(1,0) e T(0,1). (c) Qual é a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que S(3,2,1)=(1,1), S(1,0,0)= (0,-2) e S(0,1,0)=(0,0) ? (d) Encontre a transformação linear P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que P=S \circ T.