(1,5 ponto) Considerando a matriz A e o vetor \mathbf{v} abaixo, calcule o ângulo formado entre o vetor ve o vetor \mathbf{u}=A \mathbf{v}.
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \text { e } \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o vetor \mathbf{v} e o vetor \mathbf{u}=A\mathbf{v}. O conteúdo é multiplicação de matriz por vetor para obter \mathbf{u} e depois cálculo do ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^3 via produto escalar:
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{u}\|}.

Passo 2

Vamos calcular \mathbf{u}=A\mathbf{v} por multiplicação da matriz A pelo vetor \mathbf{v}:
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Então
\mathbf{u} = A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot0\\\\ 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0\\\\ 0\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} e as normas:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u} = (0)(-1) + (1)(0) + (0)(0) = 0,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1, \quad \|\mathbf{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1.

Passo 4

Usando a fórmula do cosseno do ângulo,
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{u}\|} = \frac{0}{1\cdot1} = 0.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}(0) = 90^\circ.

Resposta

O ângulo formado entre \mathbf{v} e \mathbf{u} é 90^\circ.

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