As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 4 & x\\[6pt]3 & y & 1\end{pmatrix}
correspondente a um sistema de 2 equações e 3 incógnitas, e pede que haja infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b=(b_1,b_2).
Para que, em um sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b com A de tamanho 2\times3, tenhamos:
solução para todo \boldsymbol b\in\mathbb R^2 (isto é, consistência para qualquer \boldsymbol b), e
infinitas soluções (isto é, subdeterminado),
é necessário e suficiente que \mathrm{rank}(A)=2.]
Passo 2
\mathrm{rank}(A)=2 significa que as duas linhas de A são linearmente independentes, ou seja, não há escalar k tal que
(3,y,1)=k\,(1,4,x).
Passo 3
Para que existisse tal k, deveríamos ter
3 = k\cdot1,\quad y = k\cdot4,\quad 1 = k\cdot x.
Da primeira igualdade segue k=3. Então a colinearidade ocorreria somente se simultaneamente
y = 3\cdot4 = 12 \quad\text{e}\quad 1 = 3\,x\;\Longrightarrow\;x=\tfrac13.
Passo 4
Portanto, para garantir \mathrm{rank}(A)=2, basta escolher (x,y) que não satisfaça ao mesmo tempo x=\tfrac13 e y=12.
Por exemplo, podemos tomar
x=0, \quad y=0.
Nesse caso as linhas (1,4,0) e (3,0,1) não são múltiplos uma da outra, logo \mathrm{rank}(A)=2, e o sistema terá infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b.
Resposta
Um exemplo de escolha é
x = 0, \quad y = 0.
Com isso, \mathrm{rank}(A)=2 e o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b admite infinitas soluções para todo \boldsymbol b.