Responda:
(a) Qual é a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1)=(3,2,1) e T(0,-2)= (0,1,0) ?
(b) Encontre T(1,0) e T(0,1).
(c) Qual é a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que S(3,2,1)=(1,1), S(1,0,0)= (0,-2) e S(0,1,0)=(0,0) ?
(d) Encontre a transformação linear P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que P=S \circ T.
Passo 1
O enunciado pede numa primeira parte uma transformação linear \;T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, tal que
T(1,1) = (3,2,1), \qquad T(0,-2) = (0,1,0).
Para isso basta achar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.
Passo 2
Suponha que a matriz de T seja
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\\\ e & f \end{pmatrix},
(a) T(x,y)=\bigl(3x,\;\tfrac52x-\tfrac12y,\;x\bigr).
(b) T(1,0)=(3,\tfrac52,1),\;\;T(0,1)=(0,-\tfrac12,0).
(c) S(x,y,z)=(\,z,\,-2x+7z\,).
(d) P=S\circ T é dado por P(x,y)=(x,x).