Responda:
(a) Qual é a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1)=(3,2,1) e T(0,-2)= (0,1,0) ?
(b) Encontre T(1,0) e T(0,1).
(c) Qual é a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que S(3,2,1)=(1,1), S(1,0,0)= (0,-2) e S(0,1,0)=(0,0) ?
(d) Encontre a transformação linear P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que P=S \circ T.

Passo 1

O enunciado pede numa primeira parte uma transformação linear \;T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, tal que
T(1,1) = (3,2,1), \qquad T(0,-2) = (0,1,0).
Para isso basta achar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.

Passo 2

Suponha que a matriz de T seja
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\\\ e & f \end{pmatrix},
então
A\,(1,1)^T = (a+b,\;c+d,\;e+f) = (3,2,1),
A\,(0,-2)^T = (-2b,\;-2d,\;-2f) = (0,1,0).

Passo 3

Da segunda igualdade segue
-2b=0\implies b=0,\quad -2d=1\implies d=-\tfrac12,\quad -2f=0\implies f=0.
Da primeira,
a+b=3\implies a=3,\quad c+d=2\implies c=2-(-\tfrac12)=\tfrac52,\quad e+f=1\implies e=1.
Logo
T(x,y) = \begin{pmatrix} 3x\\[6pt] \tfrac{5}{2}x-\tfrac12\,y\\[6pt] x \end{pmatrix}.]

Passo 4

Bastam então as imagens dos vetores-canônicos:
T(1,0) = \bigl(3,\;\tfrac52,\;1\bigr), \qquad T(0,1) = \bigl(0,\;-\tfrac12,\;0\bigr).

Passo 5

Na parte (c) temos S\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com
S(1,0,0)=(0,-2),\quad S(0,1,0)=(0,0),\quad S(3,2,1)=(1,1).
Escrevemos (3,2,1)=3(1,0,0)+2(0,1,0)+(0,0,1).

Passo 6

Pela linearidade
S(3,2,1) =3S(1,0,0)+2S(0,1,0)+S(0,0,1) =3(0,-2)+2(0,0)+S(0,0,1) =(1,1).
Isto dá
S(0,0,1) = (1,1) - 3(0,-2) = (1,1)-(0,-6) = (1,7).

Passo 7

Logo, em coordenadas canônicas,
S(x,y,z) = x\,(0,-2) + y\,(0,0) + z\,(1,7) = \bigl(z,\,-2x+7z\bigr).

Passo 8

Por fim, em (d) definimos
P = S\circ T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2.
Como
T(x,y) = \bigl(3x,\;\tfrac52x-\tfrac12y,\;x\bigr),
temos
P(x,y) = S\bigl(T(x,y)\bigr) = \Bigl(x,\,-2\cdot3x+7\cdot x\Bigr) = (x,x).

Resposta

(a) T(x,y)=\bigl(3x,\;\tfrac52x-\tfrac12y,\;x\bigr).
(b) T(1,0)=(3,\tfrac52,1),\;\;T(0,1)=(0,-\tfrac12,0).
(c) S(x,y,z)=(\,z,\,-2x+7z\,).
(d) P=S\circ T é dado por P(x,y)=(x,x).

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