Encontre:
lim x 0 1-cos ^3 xsen^2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto01-cos^3 xsen^2 x
O conteúdo necessário envolve manipulações algébricas em funções trigonométricas e uso de limites notáveis para senos e cossenos próximos de zero.

Passo 2

Fatoramos o numerador usando diferença de cubos em termos de cos x:
1-cos^3 x=(1-cos x)(1+cos x+cos^2 x)

Passo 3

Escrevemos então
1-cos^3 xsen^2 x =1-cos xsen^2 x,(1+cos x+cos^2 x)
Para a primeira fração usamos as identidades
1-cos x=2sen^2!l(tfrac x2r), sen^2 x=4sen^2!l(tfrac x2r)cos^2!l(tfrac x2r),
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1-cos xsen^2 x =2sen^2(tfrac x2)4sen^2(tfrac x2)cos^2(tfrac x2) =12cos^2(tfrac x2)

Passo 4

Substituindo de volta, fica
1-cos^3 xsen^2 x =1+cos x+cos^2 x2cos^2(tfrac x2)
Agora, ao fazermos xto0, temos cos(x/2)to1 e cos xto1. Portanto
limxto01-cos^3 xsen^2 x =1+1+12cdot1^2 =32

Resposta

32

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