Mostrar a validade das seguintes afirmações:
x(0)=12 pi integral-infty^infty X(omega) d omega

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma função x(t) com transformada de Fourier
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt
e queremos mostrar que
x(0)=12piintegral-infty^inftyX(omega),domega
O conteúdo aqui é a fórmula de inversão da transformada de Fourier.

Passo 2

Lembrando a fórmula de inversão da transformada de Fourier, válida sob condições de existência de x(t) e X(omega):
x(t)=12piintegral-infty^inftyX(omega),e^,jomega t,domega

Passo 3

Basta agora avaliar essa expressão em t=0. Como e^,jomegacdot0=1, segue
x(0) =12piintegral-infty^inftyX(omega),underbracee^,jomegacdot0=1,domega =12piintegral-infty^inftyX(omega),domega

Resposta

x(0)=12piintegral-infty^inftyX(omega),domega

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