Encontre uma segunda solução para cada equação diferencial.
a) y^prime prime+5 y^prime=0 ; y1=1
b) y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 ; y1=e^2 x
c) y^prime prime+16 y=0 ; y1=cos (4 x)
d) x y^prime prime+y^prime=0 ; y1=ln x
e) y^prime prime-3(tg x) y^prime=0 ; y1=1
f) x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0 ; y1=x^2+x^3

Passo 1

O enunciado pede, para cada equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, dada uma solução particular y1(x), encontrar uma segunda solução linearmente independente y2(x).
Conteúdo:
– Para equações com coeficientes constantes, usamos a equação característica.
– Para casos gerais y''+P(x)y'+Q(x)y=0 com uma solução conhecida, usamos o método da redução de ordem, que diz
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dx[,y1(x),]^2,dx
– Para equações de Euler–Cauchy do tipo x^2y''+a x y'+b y=0, procuramos soluções do tipo y=x^r.

Passo 2

Equações com coeficientes constantes:
a) y''+5y'=0.
Equação característica r^2+5r=0 dá raízes r=0 e r=-5.
Logo
y1=e^0cdot x=1, y2=e^-5x
b) y''-4y'+4y=0.
Característica r^2-4r+4=(r-2)^2=0 (raiz dupla r=2).
Assim
y1=e^2x, y2=x,e^2x
c) y''+16y=0.
Característica r^2+16=0 r=pm4i.
Soluções reais são
y1=cos(4x), y2=sin(4x)

Passo 3

Equações na forma y''+P(x)y'=0, usam-se redução de ordem com Q(x)=0:
d) x,y''+y'=0 Rightarrow y''+tfrac1x y'=0, com y1=ln x.
Aqui P(x)=tfrac1x, logo
e^-integral P,dx=e^-ln x=x^-1, y2=ln xintegralx^-1(ln x)^2,dx =ln xintegraldxx(ln x)^2 =-ln xcdot1ln x =-1
Desprezando fator constante, basta
y2=1
e) y''-3tan x,y'=0, com y1=1.
Aqui P(x)=-3tan x, então
e^-integral P,dx =e^-integral(-3tan x),dx =e^3ln|sec x| =|sec x|^3 sim sec^3x
Logo
y2 =integralsec^3x,dx =12l(sec xtan x+lnl|sec x+tan xr|r)

Passo 4

Equação de Euler–Cauchy:
f) x^2y''-4x y'+6y=0.
Procuramos y=x^r. Substituindo,
r(r-1)-4r+6=0 ;Longrightarrow; r^2-5r+6=0 ;Longrightarrow; (r-2)(r-3)=0,
logo r=2 ou r=3. As soluções básicas são x^2 e x^3, mas como foi dado
;y1=x^2+x^3, podemos escolher a outra baseindependente
y2=x^2

Resposta

a)\quad y2=e^-5x
b)\quad y2=x,e^2x
c)\quad y2=sin(4x)
d)\quad y2=1
e)\quad y2=tfrac12l(sec xtan x+ln|sec x+tan x|r)
f)\quad y2=x^2

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