Mostrar que e são soluções fundamentais da equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial . O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar derivação e o conceito de Wronskiano para testar independência linear.
Passo 2
Primeiro a gente confere que satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
Agora substituímos na equação :
Passo 3
Em seguida verificamos . Derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Por fim, para garantir que são soluções fundamentais temos que mostrar independência linear. Calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo t, y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
As funções y1(t)=e^2t e y2(t)=te^2t são duas soluções independentes cuja combinação linear geral resolve y''-4y'+4y=0, logo formam uma base (soluções fundamentais) dessa EDO.