Mostrar que y1(t)=e^2 t e y2(t)=t e^2 t são soluções fundamentais da equação
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções y1(t)=e^2t e y2(t)=te^2t são soluções fundamentais da equação diferencial y''-4y'+4y=0. O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar derivação e o conceito de Wronskiano para testar independência linear.

Passo 2

Primeiro a gente confere que y1(t)=e^2t satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1'(t)=2e^2t,
y1''(t)=4e^2t
Agora substituímos na equação y''-4y'+4y:
y1''-4y1'+4y1=4e^2t-4(2e^2t)+4(e^2t)=4e^2t-8e^2t+4e^2t=0

Passo 3

Em seguida verificamos y2(t)=te^2t. Derivadas:
y2'(t)=e^2t+2te^2t,
y2''(t)=2e^2t+(2e^2t+4te^2t)=4e^2t+4te^2t
Substituindo na equação:
y2''-4y2'+4y2=(4e^2t+4te^2t)-4(e^2t+2te^2t)+4(te^2t)=4e^2t+4te^2t-4e^2t-8te^2t+4te^2t=0

Passo 4

Por fim, para garantir que são soluções fundamentais temos que mostrar independência linear. Calculamos o Wronskiano:
W(t)=y1 & y2y1' & y2'=e^2t(e^2t+2te^2t)-2e^2tcdot te^2t=e^4t(1+2t-2t)=e^4t neq 0
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo t, y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

As funções y1(t)=e^2t e y2(t)=te^2t são duas soluções independentes cuja combinação linear geral resolve y''-4y'+4y=0, logo formam uma base (soluções fundamentais) dessa EDO.

Exercícios relacionados