Mostre que todo polígono regular é inscritível e circunscritível. As respectivas circunferências circunscrita c inscrita an polígono regular são concêntricas, isto é, possuem o mesmo centro. Chamamos de centro de um polígono regular, o centro comum dessas duas circunferências.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num polígono regular (isto é, num polígono convexo em que todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida), existe uma circunferência que passa por todos os vértices (circuncírculo) e outra que é tangente a todos os lados (incírculo), e que essas duas circunferências compartilham o mesmo centro. Vamos usar como ferramentas a concorrência das mediatrizes de lados (para o circuncírculo) e as propriedades do triângulo isósceles (para o incírculo).

Passo 2

Escolhemos quaisquer dois lados consecutivos, digamos AB e BC. Como o polígono é convexo e todos os lados têm o mesmo comprimento, as mediatrizes de AB e de BC são duas retas que se cruzam num ponto único, digamos O. Por construção, O está à mesma distância de A e de B, e também está à mesma distância de B e de C. Pelo caráter cíclico do polígono regular (todos os lados iguais e todos os ângulos centrais iguais), verifica‐se que
OA = OB = OC = \cdots = R.
Logo, existe uma circunferência de centro O e raio R que passa por todos os vértices — é o circuncírculo do polígono.

Passo 3

Considere agora um lado genérico AB e o triângulo \triangle OAB. Sabemos que OA = OB, isto é, \triangle OAB é isósceles. Num triângulo isósceles, a mediatriz da base coincide com a altura relativa a essa base. Como a mediatriz de AB passa por O, temos que a distância perpendicular de O à reta que contém AB é exatamente a altura desse triângulo. Como o mesmo argumento vale para qualquer lado, existe um valor constante r tal que a distância de O a cada reta lateral é r. Portanto, o círculo de centro O e raio r é tangente a todos os lados — é o incírculo do polígono.

Passo 4

Concluímos que há duas circunferências associadas ao polígono regular, uma de raio R que passa por todos os vértices e outra de raio r que é tangente a todos os lados, e ambas têm o mesmo centro O. Assim, elas são concêntricas. Definimos o ponto O como o centro do polígono regular.

Resposta

Todo polígono regular admite circuncírculo (vertices equidistantes de O) e incírculo (distância perpendicular de O a cada lado constante), e ambas as circunferências têm centro comum O, logo são concêntricas.

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