Mostre que todo polígono regular é inscritível e circunscritível. As respectivas circunferências circunscrita c inscrita an polígono regular são concêntricas, isto é, possuem o mesmo centro. Chamamos de centro de um polígono regular, o centro comum dessas duas circunferências.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num polígono regular (isto é, num polígono convexo em que todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida), existe uma circunferência que passa por todos os vértices (circuncírculo) e outra que é tangente a todos os lados (incírculo), e que essas duas circunferências compartilham o mesmo centro. Vamos usar como ferramentas a concorrência das mediatrizes de lados (para o circuncírculo) e as propriedades do triângulo isósceles (para o incírculo).
Passo 2
Escolhemos quaisquer dois lados consecutivos, digamos
e
. Como o polígono é convexo e todos os lados têm o mesmo comprimento, as mediatrizes de
e de
são duas retas que se cruzam num ponto único, digamos
. Por construção,
está à mesma distância de
e de
, e também está à mesma distância de
e de
. Pelo caráter cíclico do polígono regular (todos os lados iguais e todos os ângulos centrais iguais), verifica‐se que
Logo, existe uma circunferência de centro
e raio
que passa por todos os vértices — é o circuncírculo do polígono.
Passo 3
Considere agora um lado genérico
e o triângulo
. Sabemos que
, isto é,
é isósceles. Num triângulo isósceles, a mediatriz da base coincide com a altura relativa a essa base. Como a mediatriz de
passa por
, temos que a distância perpendicular de
à reta que contém
é exatamente a altura desse triângulo. Como o mesmo argumento vale para qualquer lado, existe um valor constante
tal que a distância de
a cada reta lateral é
. Portanto, o círculo de centro
e raio
é tangente a todos os lados — é o incírculo do polígono.
Passo 4
Concluímos que há duas circunferências associadas ao polígono regular, uma de raio
que passa por todos os vértices e outra de raio
que é tangente a todos os lados, e ambas têm o mesmo centro
. Assim, elas são concêntricas. Definimos o ponto
como o centro do polígono regular.
Resposta
Todo polígono regular admite circuncírculo (vertices equidistantes de
) e incírculo (distância perpendicular de
a cada lado constante), e ambas as circunferências têm centro comum
, logo são concêntricas.