Mostre que um quadrilátero é inscritivel, se, e somente se, possun um par de angulos opostos suplementares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um quadrilátero ABCD é cíclico (isto é, todos os seus vértices pertencem a uma mesma circunferência) se, e somente se, um par de ângulos opostos é suplementar. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Ângulo Inscrito e sua recíproca, que dizem:
– Em uma circunferência, um ângulo inscrito vale metade da medida do arco que intercepta.
– Se um ângulo formado por dois pontos A e C a partir de um ponto exterior D for igual à metade da medida do arco AC, então D também está na circunferência passando por A e C.

Passo 2

(⇒) Suponha que ABCD é cíclico. Então A,B,C,D estão na mesma circunferência e, pelos ângulos inscritos, temos
\angle A = \frac12\bigl(\text{medida do arco }BCD\bigr), \qquad \angle C = \frac12\bigl(\text{medida do arco }DAB\bigr).
Como os arcos BCD e DAB juntos perfazem a circunferência inteira, sua soma é 360^\circ. Logo
\angle A + \angle C = \frac12\bigl(\text{arco }BCD + \text{arco }DAB\bigr) = \frac12\cdot360^\circ =180^\circ.
Isto mostra que \angle A e \angle C são suplementares.

Passo 3

(⇐) Agora suponha que \angle A + \angle C = 180^\circ. Vamos provar que D fica na circunferência que passa por A,B,C. Construa essa circunferência \Gamma que contém A,B,C. Seja D' o segundo ponto de interseção de \Gamma com a reta CD (além de C). Como D' está em \Gamma, vale o Teorema do Ângulo Inscrito:
\angle AD'C = 180^\circ - \angle ABC.
Por construção, \angle ADC = \angle AD'C (são ambos ângulos externos que somados a \angle ABC dão 180^\circ). Logo \angle ADC = \angle AD'C implica D=D'. Assim D também pertence a \Gamma, e ABCD é cíclico.

Resposta

Mostramos portanto que ABCD é cíclico se, e somente se, \angle A + \angle C = 180^\circ, isto é, um par de ângulos opostos é suplementar.

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