Mostre que um quadrilátero é inscritivel, se, e somente se, possun um par de angulos opostos suplementares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um quadrilátero
é cíclico (isto é, todos os seus vértices pertencem a uma mesma circunferência) se, e somente se, um par de ângulos opostos é suplementar. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Ângulo Inscrito e sua recíproca, que dizem:
– Em uma circunferência, um ângulo inscrito vale metade da medida do arco que intercepta.
– Se um ângulo formado por dois pontos e
a partir de um ponto exterior
for igual à metade da medida do arco
, então
também está na circunferência passando por
e
.
– Em uma circunferência, um ângulo inscrito vale metade da medida do arco que intercepta.
– Se um ângulo formado por dois pontos
Passo 2
(⇒) Suponha que
é cíclico. Então
estão na mesma circunferência e, pelos ângulos inscritos, temos
Como os arcos
e
juntos perfazem a circunferência inteira, sua soma é
. Logo
Isto mostra que
e
são suplementares.
Passo 3
(⇐) Agora suponha que
. Vamos provar que
fica na circunferência que passa por
. Construa essa circunferência
que contém
. Seja
o segundo ponto de interseção de
com a reta
(além de
). Como
está em
, vale o Teorema do Ângulo Inscrito:
Por construção,
(são ambos ângulos externos que somados a
dão
). Logo
implica
. Assim
também pertence a
, e
é cíclico.
Resposta
Mostramos portanto que
é cíclico se, e somente se,
, isto é, um par de ângulos opostos é suplementar.