Mostre que
não pode ser a união de conjuntos abertos. Faça a demonstração com números e formulas
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o intervalo fechado
não pode ser escrito como união de conjuntos abertos em
. Vamos usar a definição de conjunto aberto e o fato de que a união de abertos é aberta.
Passo 2
Sabemos que em
a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Logo, se existissem abertos
tais que
, então
seria um conjunto aberto.
Passo 3
Por definição, um conjunto
é aberto se para todo
existe
tal que o intervalo
esteja contido em
.
Passo 4
Observe o ponto
. Se
fosse aberto, existiria
tal que
Porém para qualquer
Passo 5
Portanto chegamos a uma contradição. Logo não é possível escrever
como união de conjuntos abertos.
Resposta
A união de conjuntos abertos seria um conjunto aberto, mas
não é aberto (já que 0 não tem vizinhança contida em
). Daí não há como escrever
como união de conjuntos abertos.