Mostre que [0,1] não pode ser a união de conjuntos abertos. Faça a demonstração com números e formulas

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o intervalo fechado [0,1] não pode ser escrito como união de conjuntos abertos em R. Vamos usar a definição de conjunto aberto e o fato de que a união de abertos é aberta.

Passo 2

Sabemos que em R a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Logo, se existissem abertos Uiiin I tais que [0,1]=cupiin IUi, então [0,1] seria um conjunto aberto.

Passo 3

Por definição, um conjunto AsubsetR é aberto se para todo xin A existe varepsilon>0 tal que o intervalo (x-varepsilon,,x+varepsilon) esteja contido em A.

Passo 4

Observe o ponto 0in[0,1]. Se [0,1] fosse aberto, existiria varepsilon>0 tal que
(0-varepsilon,,0+varepsilon)subset[0,1]
Porém para qualquer varepsilon>0 temos 0-varepsilon<0, de modo que (0-varepsilon,,0+varepsilon) contém pontos negativos, logo não está contido em [0,1]. Isso contradiz a hipótese de que [0,1] seria aberto.

Passo 5

Portanto chegamos a uma contradição. Logo não é possível escrever [0,1] como união de conjuntos abertos.

Resposta

A união de conjuntos abertos seria um conjunto aberto, mas [0,1] não é aberto (já que 0 não tem vizinhança contida em [0,1]). Daí não há como escrever [0,1] como união de conjuntos abertos.

Exercícios relacionados