Se o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty ck x^n for 10, qual é o raio de convergência da série sumn=1^infty n cn x^n? Por quê?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências Σₙ₌₀^∞ cₙ xⁿ com raio de convergência R=10. A tarefa é achar o raio de convergência da série Σₙ₌₁^∞ n cₙ xⁿ. O conteúdo usado será a propriedade de conservação do raio de convergência pela diferenciação de séries de potências.

Passo 2

Sabendo que, se definirmos f(x) como
f(x)=sumn=0^inftycn x^n,
então a derivada de f é
f'(x)=sumn=1^inftyn,cn x^n-1

Passo 3

Multiplicando por x obtemos
x f'(x)=sumn=1^inftyn,cn x^n,
que é exatamente a série em questão. Um resultado clássico em séries de potências diz que a diferenciação (e a multiplicação por x) não altera o raio de convergência.

Passo 4

Portanto, a série Σₙ₌₁^∞ n cₙ xⁿ tem o mesmo raio de convergência R=10.

Resposta

10

Exercícios relacionados