Se o raio de convergência da série de potências
for 10, qual é o raio de convergência da série
? Por quê?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série de potências Σₙ₌₀^∞ cₙ xⁿ com raio de convergência R=10. A tarefa é achar o raio de convergência da série Σₙ₌₁^∞ n cₙ xⁿ. O conteúdo usado será a propriedade de conservação do raio de convergência pela diferenciação de séries de potências.
Passo 2
Sabendo que, se definirmos f(x) como
então a derivada de f é
Passo 3
Multiplicando por x obtemos
que é exatamente a série em questão. Um resultado clássico em séries de potências diz que a diferenciação (e a multiplicação por x) não altera o raio de convergência.
Passo 4
Portanto, a série Σₙ₌₁^∞ n cₙ xⁿ tem o mesmo raio de convergência R=10.
Resposta
10