Resolva as equações de Bernoulli:
x^2 d yd x+2 x y=5 y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2dydx+2xy=5y^3
que é uma equação de Bernoulli (conteúdo: equações diferenciais de Bernoulli). Vamos usar a técnica de transformar em uma equação linear por meio de uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos em forma padrão dividindo tudo por x^2:
dydx+2xy=5x^2y^3

Passo 3

Identificamos que se trata de uma Bernoulli com
P(x)=2x, Q(x)=5x^2, n=3
A teoria diz para usar a substituição u=y^1-n=y^-2.

Passo 4

Calculamos a derivada de u:
u=y^-2impliesdudx=-2y^-3dydx
Reescrevendo y^-3dydx na equação padrão:
dydx= -2xy+5x^2y^3
multiplicando por -2y^-3
dudx-4xu=-10x^2

Passo 5

Agora é uma equação linear em u:
dudx-4xu=-10x^2
O fator integrante é
mu(x)=e^-4integraldxx=x^-4
Multiplicando por mu e integrando:
ddx(u,x^-4)=-10x^-6implies u,x^-4=2x^-5+C
Logo
u=2x^-5,x^4+Cx^4=2x+Cx^4

Passo 6

Voltando à variável original, u=y^-2, então
y^-2=2x+Cx^4implies y^2=12/x+Cx^4
Assim
y=pmraizx2+Cx^5,
o que fornece a solução geral.

Resposta

y=pmraiztfracx2+Cx^5

Exercícios relacionados