Mostre que

Passo 1

A questão pede para mostrar que (\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{(x2+y2)z}{7(x2+y2+4z^2)}=0. O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar desigualdades e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para provar que esse limite é zero, vamos trabalhar com o valor absoluto da função. Se mostrarmos que
|(x^2+y^2)z7(x^2+y^2+4z^2)|<= r7
e que rto0 implica r7to0, então pelo teorema do confronto o limite será zero.

Passo 3

Definimos r=raizx^2+y^2+z^2. Daí temos as estimativas
x^2+y^2<= r^2 e |z|<= r,
portanto
|(x^2+y^2)z|<= r^2cdot r = r^3

Passo 4

Agora o denominador satisfaz
7(x^2+y^2+4z^2)>=7(x^2+y^2+z^2)=7r^2

Passo 5

Juntando as duas desigualdades, obtemos
|(x^2+y^2)z7(x^2+y^2+4z^2)|<= r^37r^2=r7
Como r=raizx^2+y^2+z^2 tende a zero quando (x,y,z)to(0,0,0), segue que r7to0.

Passo 6

Pelo teorema do confronto, a função fica presa entre -r/7 e r/7, que vão a zero, logo o limite original é zero.

Resposta

0

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