Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=x·arctg(1/(x²+y²)) tem limite 0 quando (x,y)→(0,0). O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e vamos usar o fato de que arctg é limitada.

Passo 2

Sabemos que, para todo real t, vale |arctg(t)|≤π/2. Portanto podemos escrever:

Passo 3

Como (x,y)→(0,0) implica |x|→0, basta controlar |x|. Dado ε>0, escolha δ=min{1,2ε/π}. Se √(x²+y²)<δ então |x|<δ≤2ε/π e assim

Passo 4

Pelo critério de ε–δ em duas variáveis, concluímos que o limite é 0.

Resposta

0

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