Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
O conteúdo aqui envolve limites multivariáveis e a “Regra dos dois caminhos”. Vamos precisar analisar o limite ao aproximar (x, y) de (0,0) por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes, o que indicaria que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar (0,0). Um caminho simples é deixar y = 0. Se fizermos isso, a expressão fica:
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos tentar y = x. Substituindo na expressão:
Sabemos que para valores pequenos,
, então:
Portanto, pelo caminho y = x, o limite é
.
Passo 4
Como obtivemos dois resultados diferentes dependendo do caminho que escolhemos (0 pelo caminho y=0 e
pelo caminho y=x), isso mostra que o limite não é o mesmo por todas as direções.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos levam a resultados distintos.