Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
lim (x, y) (0,0) sen(x y)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) sen(x y)x^2+y^2
O conteúdo aqui envolve limites multivariáveis e a “Regra dos dois caminhos”. Vamos precisar analisar o limite ao aproximar (x, y) de (0,0) por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes, o que indicaria que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar (0,0). Um caminho simples é deixar y = 0. Se fizermos isso, a expressão fica:
sen(x cdot 0)x^2+0^2 = sen(0)x^2 = 0x^2 = 0
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos tentar y = x. Substituindo na expressão:
sen(x cdot x)x^2+x^2 = sen(x^2)2x^2
Sabemos que para valores pequenos, sen(x^2) approx x^2, então:
x^22x^2 = 12
Portanto, pelo caminho y = x, o limite é 12.

Passo 4

Como obtivemos dois resultados diferentes dependendo do caminho que escolhemos (0 pelo caminho y=0 e 12 pelo caminho y=x), isso mostra que o limite não é o mesmo por todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos levam a resultados distintos.

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