Considerando a função
, determine utilizando a definição, via limite, a derivada de
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ a(x) = x^{2} - 4x - 6 $ e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = -1 $ usando a definição de derivada, que envolve limites. Basicamente, vamos calcular como a função está mudando naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ a(x) $ no ponto $ x = c $ é dada por:
Isso significa que vamos ver quanto a função muda quando fazemos uma “pequena” variação $ h $ em $ x $, e depois tirar o limite quando $ h $ chega a zero.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar $ a’(-1) $. Então, vamos substituir $ c $ por
na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ a(-1 + h) $ e $ a(-1) $.
Primeiro, $ a(-1 + h) $:
Vamos expandir isso:
Agora, $ a(-1) $:
Passo 5
Vamos colocar esses valores de volta na fórmula da derivada:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a fração dividindo todos os termos do numerador por $ h $:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0:
Resposta
A derivada de $ a(x) = x^{2} - 4x - 6 $ no ponto $ x = -1 $ é $ a’(-1) = -6 $.