Considerando a função a(x)=x^2-4 x-6, determine utilizando a definição, via limite, a derivada de a(x) no ponto x=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ a(x) = x^{2} - 4x - 6 $ e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = -1 $ usando a definição de derivada, que envolve limites. Basicamente, vamos calcular como a função está mudando naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ a(x) $ no ponto $ x = c $ é dada por:
a(x)
Isso significa que vamos ver quanto a função muda quando fazemos uma “pequena” variação $ h $ em $ x $, e depois tirar o limite quando $ h $ chega a zero.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar $ a’(-1) $. Então, vamos substituir $ c $ por a'(-1) na fórmula:
c

Passo 4

Agora, vamos calcular $ a(-1 + h) $ e $ a(-1) $.
Primeiro, $ a(-1 + h) $:
a(-1 + h)
Vamos expandir isso:
a(-1)
a(-1 + h)
a(-1 + h) = (-1 + h)^2 - 4(-1 + h) - 6
= (1 - 2h + h^2) - (-4 + 4h) - 6
Agora, $ a(-1) $:
= 1 - 2h + h^2 + 4 - 4h - 6

Passo 5

Vamos colocar esses valores de volta na fórmula da derivada:
a'(-1) = limh to 0 (-1 - 6h + h^2) - (-1)h
= limh to 0 -1 - 6h + h^2 + 1h
= limh to 0 -6h + h^2h

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração dividindo todos os termos do numerador por $ h $:
h
= limh to 0 -6hh + h^2h

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada de $ a(x) = x^{2} - 4x - 6 $ no ponto $ x = -1 $ é $ a’(-1) = -6 $.

Exercícios relacionados