Resolva as equações:
(f)

Passo 1

Neste exercício temos a equação diferencial de primeira ordem 2l(xy^3-1x^3r)+(3x^2y^2-1y^2)dydx=0. Esse tipo de equação pode ser exato, então vamos usar teoria de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Reescrevemos no formato M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, onde M(x,y)=2l(xy^3-1x^3r) e N(x,y)=3x^2y^2-1y^2. Calculamos as derivadas parciais: partial Mpartial y=6xy^2 e partial Npartial x=6xy^2, que coincidem, logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsipartial x=M(x,y). Integramos em relação a x:
integral2l(xy^3-1x^3r)dx = x^2y^3+1x^2+h(y)
Assim, psi(x,y)=x^2y^3+1x^2+h(y).

Passo 4

Para encontrar h(y), derivamos psi em relação a y:
partialpsipartial y=3x^2y^2+h'(y)
Igualando a N(x,y) obtemos 3x^2y^2+h'(y)=3x^2y^2-1y^2, logo h'(y)=-1y^2. Integrando, dá h(y)=integral-1y^2dy=1y.

Passo 5

Substituindo h(y) em psi chegamos à solução geral implícita:
psi(x,y)=x^2y^3+1x^2+1y=C

Resposta

x^2y^3+1x^2+1y=C

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